Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của hàm số bậc 3, bậc 4 và Cực trị của hàm số lượng giác

Điểm cực trị của hàm số là gì? Cực trị của hàm số bậc 3 và bậc 4, cực trị của hàm số lượng giác, cực trị của hàm số logarit … là những kiến ​​thức Đại số khá hay và cần thiết các em học sinh THPT cần lưu ý. Sau đây Tip.edu.vn sẽ chia sẻ một số thông tin cơ bản về các dạng cực trị của hàm số.

Điểm cực trị của hàm số là gì?

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x0 ∈ (a; b).

• Nếu tồn tại một số h> 0 sao cho f (x) 0), x ∈ (x0 – H; x0 + h), x x0 thì ta nói hàm f đạt cực đại tại x0 .
• Nếu tồn tại một số h> 0 sao cho f (x)> f (x0), x ∈ (x0 – H; x0 + h), x x0 thì ta nói hàm số f có cực tiểu tại x0 .

Định lý 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K = (x0 – H; x0 + h) (h> 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K {x0 }.

• Nếu ( left {f ‘(x)> 0 mid forall (x_ {0} -h; x_ {0}) f’ (x) <0 mid forall (x_ {0}; x_ {0 )} + h) đúng. ) sau đó (x_ {0} ) là điểm cực đại của hàm.
• Nếu ( left {f ‘(x)> 0 mid forall (x_ {0} -h; x_ {0}) f’ (x) <0 mid forall (x_ {0}; x_ {0 )} + h) đúng. ) sau đó (x_ {0} ) là điểm cực tiểu của hàm số.

Định lý 2. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x0 – H; x0 + h) (h> 0).

• Nếu f ‘(x0) = 0, f ”(x0)> 0, sau đó x0 là điểm cực tiểu của hàm số f.
• Nếu f ‘(x0) = 0, f ”(x0) <0, sau đó x0 là điểm cực đại của hàm số f.

Cực trị của hàm số bậc 3, bậc 4

Cực trị của hàm bậc 3

Cho hàm: (y = f (x) = ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d (a neq 0) )

Phát sinh: (y ‘= f’ (x) = 3ax ^ {2} + 2bx + c )

Điều kiện tồn tại khắc nghiệt: y = f (x) có thái cực y = f (x) có cực đại và cực tiểu.

=> f ‘(x) = 0 có 2 giải pháp khác biệt ( Delta ‘= b ^ {2} -3ac> 0 )

Cực trị của hàm số bậc hai (hàm bình phương)

Cho hàm: (y = f (x) = ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e (a neq 0) )

Phát sinh: (y ‘= f’ (x) = 4ax ^ {3} + 3bx ^ {2} + 2cx + d )

Vô cùng:

Xét f ‘(x) = 0 => Có 3 trường hợp xảy ra:

• TH1: có đúng 1 nghiệm => có đúng 1 cực trị.
• TH2: có đúng 2 nghiệm: 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép => có đúng 1 cực trị.
• TH3: có 3 nghiệm phân biệt => có 3 cực trị gồm cực đại và cực tiểu.

Cực trị của hàm lượng giác

Phương pháp tìm cực trị của một hàm lượng giác như sau:

• Bước 1: Tìm miền của hàm.
• Bước 2: Tính đạo hàm y ‘= f’ (x), giải phương trình y ‘= 0, giả sử có nghiệm x = x0.
• Bước 3: Khi đó: Tìm đạo hàm y ”.
  • Tính y ” (x0) rồi rút ra kết luận theo định lý 2.

Cực trị của hàm số lôgarit

Chúng tôi làm theo các bước sau:

Bước 1: Tìm miền của hàm.

Bước 2: Tính đạo hàm y ‘, sau đó giải phương trình y’ = 0, giả sử có nghiệm x = x0.

Bước 3: Hãy xem xét hai khả năng:

• Nếu xét dấu của y ‘thì: lập bảng biến thiên rồi rút ra kết luận theo định lí 2.
• Nếu dấu của y ‘không thể được coi là:
  • Tìm đạo hàm y ”.
  • Tính y ” (x0) rồi rút ra kết luận dựa trên định lý 3.

Ví dụ minh họa các cực trị của một hàm số là gì?

Tìm cực trị của hàm số: (y = xe ^ {- 3x} )

Ta có: (y ‘= e ^ {- 3x} -3xe ^ {- 3x} = e ^ {- 3x} (1-3x) )

( Rightarrow y ‘= 0 Leftrightarrow 1-3x = 0 Leftrightarrow x = frac {1} {3} )

Một lần nữa chúng tôi có: (y ”= – 3e ^ {- 3x} -3 (1-3x) e ^ {- 3x} )

Thay thế (x = frac {1} {3} ) nhập y ” và nhận (y ”( frac {1} {3}) <0 )

Vậy hàm số đã cho có điểm cực đại là (x = frac {1} {3} ).

Hy vọng bài viết trên đã cung cấp cho bạn những thông tin cần thiết cũng như những kiến ​​thức bổ ích về điểm cực trị của hàm số là gì, điểm cực trị của hàm số bậc 3 và bậc 4, điểm cực trị của hàm số lượng giác. cực trị của hàm số lôgarit. Nếu còn thắc mắc hãy để lại bình luận bên dưới bài viết “Cực trị của hàm số là gì” để chúng ta cùng nhau trao đổi thêm nhé!

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Tính đơn điệu của một hàm là gì? Tính đơn điệu của hàm số bậc hai và hàm số lượng giác