Công thức tính thể tích khối chóp: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Kim tự tháp là gì? Công thức cho thể tích của một hình nón là gì? Kiến thức về hình chóp tứ diện đều, hình chóp tứ giác đều? Lý thuyết và bài tập về thể tích hình chóp?… Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề Thể tích hình chóp và các nội dung liên quan.

Định nghĩa của một kim tự tháp là gì?

Hình chóp là hình có đáy là đa giác và các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này được gọi là đỉnh của hình chóp.

Nhận xét:

• Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy gọi là đường cao của hình chóp.
• Tên gọi của hình chóp theo đáy là đa giác: hình chóp có đáy là tam giác được gọi là hình chóp tam giác, hình chóp có đáy là hình tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.
• Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng hoặc các cạnh bên bằng nhau thì đường cao của đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
• Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên mặt đáy hoặc có các đường cao xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì đường cao đáy là tâm của đường tròn nội tiếp mặt đáy.
• Nếu một hình chóp có mặt bên hoặc đường chéo vuông góc với mặt đáy thì chiều cao của hình chóp là chiều cao của mặt bên hoặc đường chéo đó.

Khối kim tự tháp đặc biệt

Khi bạn đã biết định nghĩa hình chóp là gì, để tìm hiểu về thể tích của hình chóp, trước hết bạn cần hiểu các hình chóp đặc biệt.

Hình chóp tứ diện đều

Hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt đều là tam giác đều, O là tâm của tam giác đáy, (SO perp (ABC) )

Xem thêm >>> Thể tích khối tứ diện đều: Khái niệm, Công thức tính nhanh thể tích khối tứ diện đều

Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, đa giác đáy là hình vuông có tâm O, (SO perp (ABCD) )

Công thức về thể tích của một hình chóp

Thể tích của hình nón bằng một phần ba diện tích của đáy nhân với chiều cao:

(V = frac {1} {3} Sh )

Trong đó:

• V là thể tích của hình chóp.
• S là diện tích của hình chóp.
• h là chiều cao của hình chóp.
• Đơn vị đo thể tích tiêu chuẩn là mét khối ((m ^ {3}) )

Trường hợp Nếu thể tích hình chóp cần tính chiều cao chưa biết thì chiều cao của đáy phải xác định. Khi xác định chân đường cao của hình chóp cần chú ý:

• Nếu hình chóp đều thì đường cao đáy là tâm của hình chóp.
• Trong một hình chóp có mặt bên ((SA_ {i} A_ {j}) ) vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao của tam giác ((SA_ {i} A_ {j}) ) là chân đường cao của hình chóp.
• Nếu hai mặt phẳng đi qua đỉnh và cùng vuông góc với mặt đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với mặt đáy.
• Nếu các mặt bên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
• Nếu các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.

Các dạng toán và bài tập tính thể tích hình chóp

Dạng 1: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Ví dụ: Cho hình chóp ((S.ABC) ) có (SB = SC = CB = CA = a ). Hai mặt bên ((ABC), (ASC) ) vuông góc với mặt đáy (((SBC) ) Tính thể tích của hình chóp.

Giải pháp:

Chúng ta có:

( left { begin {matrix} (ABC) & perp & (SBC) \ (ASC) & perp & (SBC) end {matrix} right. )

( Rightarrow AC perp (SBC) )

Do đó, (V = frac {1} {3} S_ {SBC} .AC = frac {1} {3}. Frac {a ^ {2} sqrt {3}} {4} a = frac {a ^ {3} sqrt {3}} {12} )

Dạng 2: Hình nón có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

Bài tập: Cho hình chóp (S.ABCD ) có đáy (ABCD ) là hình vuông có cạnh a. Mặt bên (SAB ) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ((ABCD) ).

1. Chứng minh rằng chân đường cao của hình chóp trùng với trung điểm của cạnh AB.
2. Tính thể tích của hình chóp

Giải pháp:

1. Gọi H là trung điểm của AB. Chúng tôi có: ( bigtriangleup SAB ) là ( Rightarrow SH perp AB )

Mà: ((SAB) perp (ABCD) Rightarrow SH perp (ABCD) )

Do đó H là chân đường cao của hình chóp. Rốt cuộc, những gì đã được chứng minh

2. Tam giác SAB đều nên ta có: (SH = frac {a sqrt {3}} {2} )

Derive (V = frac {1} {3} S_ {ABCD} .SH = frac {1} {3} .a ^ {2}. Frac {a sqrt {3}} {2} = frac {a ^ {3} sqrt {3}} {6} )

Dạng 3: Hình chóp đều – Tính thể tích của khối tứ diện đều

Bài tập: Cho hình tứ diện đều (ABCD ) cạnh a, (M ) là trung điểm (DC ).

1. Tìm thể tích của tứ diện đều (ABCD )
2. Tính khoảng cách từ (M ) đến mặt phẳng ((ABC) ). Tính thể tích của hình chóp (MABC )

Giải pháp:

1. Gọi O là trọng tâm của tam giác (ABC ), suy ra (DO perp (ABC) )

Ta có: (DO = sqrt {DC ^ {2} -OC ^ {2}} = frac {a sqrt {6}} {3} )

(S_ {ABC} = frac {a ^ {2} sqrt {3}} {4} )

Derive (V = frac {1} {3} .DO.S_ {ABC} = frac {1} {3}. Frac {a sqrt {6}} {3}. Frac {a ^ { 2} sqrt {3}} {4} = frac {a ^ {3} sqrt {2}} {12} )

2. Man MH // DO.

Khoảng cách từ (M ) đến ((ABC) ) là: (d (M; (ABC)) = MH = frac {1} {2} DO = frac {1} {2}. frac {a sqrt {6}} {3} = frac {a sqrt {6}} {6} )

Xuất phát: (V_ {MABC} = frac {1} {3} .MH.S_ {ABC} = frac {a ^ {3} sqrt {2}} {24} )

Xem thêm >>> Công thức tính diện tích tam giác đều và Các Bài Tập Điển Hình

Bài viết trên, Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề Thể tích hình chóp. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những thông tin hữu ích. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)