Công thức tính diện tích mặt cầu và bài tập có lời giải từ A – Z

Tiếp tục trong chuyên mục môn Toán hôm nay, TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN sẽ chia sẻ đến các em công thức cho diện tích hình cầu Kèm theo đó là các bài tập có lời giải chi tiết giúp các bạn hệ thống hóa kiến ​​thức để vận dụng vào giải bài tập một cách nhanh nhất.

Mặt cầu là gì?

Cho điểm I cố định và số thực dương R. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu có tâm I, bán kính R. Kí hiệu: S (I; R). Khi đó: S (I; R) = {M | IM = R}

Công thức diện tích hình cầu

Diện tích của hình cầu được cho bằng 4 lần số pi nhân với bán kính của hình cầu, hoặc là tích của pi và bình phương đường kính của hình cầu.

S_{mặt cầu} = 4π.R³ =. d² (đầu tiên)

Trong đó:

• S_{mặt cầu} : Diện tích hình cầu
• R là bán kính của mặt cầu
• d là đường kính của quả cầu
• : Số pi (π = 3,14)

Tìm hiểu thêm:

Bài tập tính diện tích hình cầu có lời giải chi tiết

Ví dụ 1: Tính diện tích hình cầu có bán kính nối từ tâm O và dài:

a) 8 m
b) 1,3 dm
c) 2 cm
d) 15 cm

Giải thưởng

a) Diện tích của hình cầu là:

S_{mặt cầu} = 4π.R³ = 4 x 3,14 x 8³ = 6430,72 (m²)

b) Diện tích của hình cầu là:

S_{mặt cầu} = 4π.R³ = 4 x 3,14 x 1,3³ = 27,59432 (dm²)

c) Diện tích của hình cầu là:

S_{mặt cầu} = 4π.R³ = 4 x 3,14 x 2³ = 100,48 (cm²)

d) Diện tích của hình cầu là:

S_{mặt cầu} = 4π.R³ = 4 x 3,14 x 15³ = 42390 (cm²)

Ví dụ 2: Một bể nước gồm hai nửa hình cầu và hình trụ (như hình vẽ bên).

Đường kính của hình trụ gấp đôi đường kính của hình cầu. Thể tích của bể nước là 128π / 3 m.³. Tính diện tích xung quanh của bể nước theo m².

Câu trả lời

Gọi 4x (m) là đường sinh của hình trụ.

Khi đó đường tròn có đáy là hình trụ và mặt cầu có bán kính là x (m).

Thể tích của bể nước này là thể tích của khối trụ có bán kính đáy R = x;
đường sinh l = h = 4x và thể tích khối cầu bán kính R = x.

Do đó, thể tích của bể nước là:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a√3, góc SAB = SCB = 90⁰ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a√2. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Câu trả lời:

Gọi D là hình chiếu của S trên (ABC).

H là chân đường cao kẻ từ D của tam giác vuông SDC.

∡SAB = SCB = 90 độ

⇒∡DAB = DCB = 90 độ

⇒ ABCD là hình vuông.

Xét tam giác vuông SDC (vuông tại D) có:

DC = AB = a√3

DH = d (D, (SBC)) = d (A, (SBC)) = a√2

DS = a√6

⇒ SC = 3a

SB = 2a√3

Gọi O là trung điểm của SB, ta có OA = OB = OC = OS = a√3.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là R = a√3

⇒ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là S = 4πR2 = 12πa².

Sau khi đọc bài viết của chúng tôi, các bạn có thể nắm được công thức tính diện tích hình cầu để áp dụng vào làm bài tập.