Chuyên đề phương trình tích: Định nghĩa, Bài tập và Cách giải

Phương trình năng suất là một dạng toán cơ bản trong chương trình toán lớp 8, lớp 9. Vậy chính xác phương trình tích là gì? Kiến thức cần nắm về phương trình tích lớp 8 lớp 9? Lý thuyết và bài tập về phương trình tích?… Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Tìm hiểu phương trình giải tích là gì?

Định nghĩa phương trình tích phân

Phương trình năng suất là phương trình trong đó một bên là tích của các đa thức và bên kia là (0 )

Ví dụ: ((x ^ 2-x + 2) (x-3) = 0 )

Dạng tổng quát của phương trình tích phân

(f_1 (x) .f_2 (x)… f_n (x) = 0 ) trong đó (f_i (x) ) là các hàm của (x )

Nghiệm của phương trình là hợp tập các nghiệm của mỗi phương trình (f_i (x) = 0 ) với (i = 1,2,… n )

Cách giải phương trình tích phân

Để giải các bài toán về chủ đề này, cách chung là biến đổi vế trái để rút gọn về dạng tích của các hàm. Để biến đổi chúng ta cần nắm vững một số phương pháp tính nhân tử của đa thức.

Phương pháp thừa số hóa phổ biến

Vấn đề: (A (x) + B (x) = 0 )

Các bước:

• Bước 1: Biến đổi (A (x) = C (x) .A_1 (x) ); (B (x) = C (x) .B_1 (x) )
• Bước 2: Khi đó chúng ta có: (A (x) + B (x) = C (x)[A_1(x)+B_1(x)])
• Bước 3: Giải từng phương trình (C (x) = 0 ) và (A_1 (x) + B_1 (x) = 0 )

Ví dụ:

Giải phương trình: (x ^ 2-4 + frac {x-2} {3} = 0 )

Giải pháp:

Phương trình đã cho tương đương với:

((x-2) (x + 2) + frac {x-2} {3} = 0 )

( Leftrightarrow (x-2) (x + 2 + frac {1} {3}) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=2\x=-frac{7}{3} end{array}right.)

Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Để sử dụng phương pháp này chúng ta cần nắm vững bảy hằng đẳng thức đáng nhớ:

Ngoài ra chúng ta nên ghi nhớ thêm một số đẳng thức thường gặp :

(a^4-b^4=(a^2+b^2)(a-b)(a+b))

((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)

((a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a))

((a + b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc)

Ví dụ:

Giải phương trình : (x^2+4x+4-sqrt{2x+1}-(x-1)^2=0)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( x geq frac{-1}{2} )

Phương trình đã cho tương đương với :

(Leftrightarrow (x+2)^2-(x-1)^2-sqrt{2x+1}=0)

(Leftrightarrow 3(2x+1)-sqrt{2x+1}=0)

(Leftrightarrow sqrt{2x+1}.(3-sqrt{2x+1})=0)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} 2x+1=0\3=sqrt{2x+1} end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=frac{-1}{2}\x=4 end{array}right.)

Phương pháp tách, thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung

Cơ sở của phương pháp này là chúng ta sử dụng định lý sau:

Nếu ( x=a ) là một nghiệm của phương trình ( f(x) =0 ) thì ta luôn có thể viết ( f(x) ) dưới dạng ( f(x) =(x-a).g(x) )

Như vậy ở các bài toán phương trình tích thì chúng ta cần nhẩm được nghiệm nguyên ( a ) của phương trình rồi từ đó tách, ghép để làm xuất hiện nhân tử ( (x-a) )

Phương pháp tách 

Bài toán : (A(x)+B(x)+C(x)=0)

Cách làm như sau : Chúng ta tách (C(x)=C_1(x)+C_2(x)) hợp lý sao cho ([A(x)+C_1(x)]) và ([B(x)+C_2(x)]) có một yếu tố chung

Ví dụ:

Giải phương trình (5x ^ 3-7x + 2 = 0 )

Giải pháp:

Giải pháp cho thấy rằng (x = 1 ) là nghiệm của phương trình, vì vậy chúng ta cần tách nó ra để làm xuất hiện thừa số ((x-1) ).

Phương trình đã cho tương đương với

(5x ^ 3-5x-2x + 2 = 0 )

( Mũi tên trái 5x (x ^ 2-1) -2 (x-1) = 0 )

( Mũi tên trái 5x (x + 1) (x-1) -2 (x-1) = 0 )

( Mũi tên trái (5x ^ 2 + 5x-2) (x-1) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}5x^2+5x-2=0\x=1end{array}right)[begin{array}{l}5x^2+5x-2=0x=1end{array}right)[begin{array}{l}5x^2+5x-2=0x=1end{array}right)[begin{array}{l}5x^2+5x-2=0x=1end{array}right)

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=frac{-1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}\x=frac{1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}\x=1end{array}right)[begin{array}{l}x=frac{-1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}x=frac{1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}x=1end{array}right)[begin{array}{l}x=frac{-1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}x=frac{1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}x=1end{array}right)[begin{array}{l}x=frac{-1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}x=frac{1-frac{sqrt{13}}{5}}{2}x=1end{array}right)

Phương pháp cộng và trừ

Vấn đề: (A (x) + B (x) = 0 )

Cách làm như sau: Chúng ta cộng (A (x) ) một số lượng (C (x) ) rồi trừ đi (B (x) ) số lượng (C (x) ) ) sao cho (A (x) + C (x) ) và (B (x) -C (x) ) có một nhân tử chung

Ví dụ:

Giải phương trình: (x ^ 3-x ^ 2-4 = 0 )

Giải pháp:

Tinh thần thấy rằng (x-2 ) là nghiệm của phương trình, vì vậy chúng tôi cộng và trừ để làm xuất hiện thừa số ((x-2) ).

Phương trình đã cho tương đương với

(x ^ 3-2x ^ 2 + x ^ 2-2x + 2x-4 = 0 )

( Mũi tên trái x ^ 2 (x-2) + x (x-2) +2 (x-2) = 0 )

( Leftrightarrow (x-2) (x ^ 2 + x + 2) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=2\x^2+x+2=0end{array}right)[begin{array}{l}x=2x^2+x+2=0end{array}right)[begin{array}{l}x=2x^2+x+2=0end{array}right)[begin{array}{l}x=2x^2+x+2=0end{array}right)

Ngược lại (x ^ 2 + x + 2 = (x + frac {1} {2}) ^ 2+ frac {7} {4}> 0 hspace {1cm} forall x in mathbb {R} )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x = 2 )

Lưu ý: Hầu hết các bài toán về phương trình tích có nghiệm nguyên thì các em cần nhẩm nghiệm của phương trình đó rồi sử dụng các phương pháp hợp lí để xuất hiện nhân tử chung.

Tìm hiểu bất đẳng thức tích là gì?

Định nghĩa các bất đẳng thức tích phân

Tương tự như phương trình tích, bất phương trình tích là bất phương trình có một bên là tích của đa thức và một bên bằng (0 ). Dấu của bất đẳng thức có thể là (>, <) hoặc ( leq, geq )

Dạng tổng quát của bất đẳng thức tích

(f_1 (x) .f_2 (x)… f_n (x)> 0 )

Phương pháp giải quyết:

• Bước 1: Sử dụng các phương pháp phân tích nhân tử để biến bất phương trình về dạng trên
• Bước 2: Tìm nghiệm của từng hàm (f_1 (x); f_2 (x);…; f_n (x) )
• Bước 3: Lập bảng kí hiệu và tìm tập nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ:

Giải bất phương trình: (2x ^ 2- (x-1) sqrt {x + 1} -2 geq 0 )

Giải pháp:

TCM: (x geq -1 )

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

(2 (x ^ 2-1) – (x-1) sqrt {x + 1} geq 0 )

( Leftrightarrow 2 (x-1) (x + 1) – (x-1) sqrt {x + 1} geq 0 )

( Leftrightarrow (x-1) sqrt {x + 1} (2- sqrt {x + 1}) geq 0 )

Chúng tôi có bảng các dấu hiệu sau:

Bài tập Giải tích Nâng cao

Phương thức ẩn phụ

Trong một số bài toán phức tạp, chúng tôi đặt ẩn phụ (y = f (x) ) thích hợp và sau đó phân tích nó bằng hàm hai ẩn (x; y ). Sau khi tính toán xong, chúng ta thay thế (y ) bằng (f (x) ) vào phương trình tích kết quả.

Ví dụ:

Giải phương trình: (x sqrt {x} – sqrt {x} sqrt {x + 1} + sqrt {x} -x sqrt {x + 1} + x + 2-2 sqrt {x +1} = 0 )

Giải pháp:

ĐIỀU KIỆN: (x geq 0 )

Chúng ta có một phương trình tương đương với:

( Leftrightarrow x sqrt {x} – sqrt {x} ( sqrt {x + 1} -1) -x ( sqrt {x + 1} -1) + (x + 1) -2 sqrt {x + 1} + 1 = 0 )

( Leftrightarrow x sqrt {x} – sqrt {x} ( sqrt {x + 1} -1) -x ( sqrt {x + 1} -1) + ( sqrt {x + 1} – 1) ^ 2 = 0 )

Đặt ( sqrt {x + 1} -1 = y ). Thay vào phương trình đã cho ta có:

(x sqrt {x} – sqrt {x} y-xy + y ^ 2 = 0 )

( Leftrightarrow sqrt {x} (xy) -y (xy) = 0 )

( Leftrightarrow (xy) ( sqrt {x} -y) = 0 )

Thay ( sqrt {x + 1} -1 = y ) ta có:

((x + 1- sqrt {x + 1}) ( sqrt {x} + 1- sqrt {x + 1}) = 0 )

( Leftrightarrow sqrt {x + 1} ( sqrt {x + 1} -1) ( sqrt {x} + 1- sqrt {x + 1}) = 0 )

Chúng ta có:

( sqrt {x + 1} = 0 Mũi tên trái x = -1 ) (loại)

( sqrt {x + 1} -1 = 0 Leftrightarrow x = 0 ) (hài lòng)

( sqrt {x} + 1- sqrt {x + 1} = 0 Rightarrow x + 1 + 2 sqrt {x} = x + 1 )

( Leftrightarrow 2 sqrt {x} = 0 Leftrightarrow x = 0 ) (hài lòng)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x = 0 )

Phương pháp hệ số không chắc chắn

Phương pháp này thường được sử dụng để giải phương trình bậc hai (4 ) mà chúng ta không có nghiệm nguyên. Nguyên tắc của phương pháp này như sau:

Nếu hàm thứ tự (4 ) có thể được tính theo nhân tử, thì nó sẽ được tính là ((k_1x ^ 2 + ax + b) (k_2x ^ 2 + cx + d) )

Thông thường trong các bài toán, (k_1 = k_2 = 1 ). Sau đó, chúng tôi có thể mở rộng

((x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) = x ^ 4 + (a + c) x ^ 3 + (ac + b + d) x ^ 2 + (ad + bc) c + bd )

Vì vậy, với hàm bậc đã cho (4 ), chúng ta có thể xác định các hệ số của mỗi số hạng chứa (x ) và sau đó giải hệ để tìm (a, b, c, d ) sau đó có thể tính được thừa số

Lưu ý: Nếu (k_1.k_2 neq 1 ) thì chúng ta mở rộng bao gồm (k_1; k_2 ) rồi giải hệ thống để tìm (k_1; k_2 )

Trong các bài toán thông thường, các hệ số (a; b; c; d ) là các số nguyên

Ví dụ:

Giải phương trình: (x4 – 6x ^ 3 + 12x ^ 2 – 14x + 3 = 0 )

Giải pháp:

Giả sử chúng ta có thể phân tích cú pháp bên trái là

((x ^ 2 + ax + b) (x ^ 2 + cx + d) )

Sau đó chúng tôi có:

(x ^ 4 – 6x ^ 3 + 12x ^ 2 – 14x + 3 = x ^ 4 + (a + c) x ^ 3 + (ac + b + d) x ^ 2 + (ad + bc) c + bd )

Đồng nhất các hệ số, chúng ta nhận được

( left { begin {matrix} a + c = -6 \ ac + b + d = 12 \ ad + bc = -14 \ bd = 3 end {matrix} right. )

Vì (bd = 3 ) nên chúng ta chọn (b = 1; d = 3 )

Sau đó:

( left { begin {matrix} a + c = -6 \ ac = 8 \ 3a + c = -14 end {matrix} right. )

( left { begin {matrix} a = -4 \ c = -2 end {matrix} right. )

Vì vậy, ( left { begin {matrix} a = -4 \ b = 1 \ c = -2 \ d = 1 end {matrix} right. )

Vì vậy, phương trình đã cho tương đương với

((x ^ 2-4x + 1) (x ^ 2-2x + 3) = 0 )

Chúng ta có:

(x ^ 2-4x + 1 = 0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=2-sqrt{3}\x=2+sqrt{3}end{array}right)[begin{array}{l}x=2-sqrt{3}x=2+sqrt{3}end{array}right)[begin{array}{l}x=2-sqrt{3}x=2+sqrt{3}end{array}right)[begin{array}{l}x=2-sqrt{3}x=2+sqrt{3}end{array}right)

(x ^ 2-2x + 3 = (x-1) ^ 2 + 2> 0 hspace {1cm} forall x in mathbb {R} )

Vì vậy, phương trình đã cho có nghiệm (x = 2- sqrt {3} ) hoặc (x = 2 + sqrt {3} )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết về phương trình tích, bất phương trình tích cũng như phương pháp giải một số dạng toán cơ bản và nâng cao. Hy vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương trình tích. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> Định lý Talet trong tam giác, trong hình thang