Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập

Phương pháp tọa độ trong không gian là một chủ đề quan trọng trong Toán 12. Vậy hệ tọa độ trong không gian là gì? Chuyên đề về phương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 cần nhớ những gì? Ứng dụng của phương pháp tọa độ trong không gian?… Trong bài viết sau, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Kiến thức về phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz

Hệ tọa độ trong không gian là gì?

Hệ gồm 3 trục (Ox, Oy, Oz ) đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc (Oxyz ) trong không gian với:

• (Ox ) là trục hoành
• (Oy ) là trục tung
• (Oz ) là trục chiều cao

Các tính năng cần nhớ:

Xem chi tiết tại >>> Hệ tọa độ trong không gian là gì? Công thức và bài tập ví dụ

Phương trình của mặt cầu là gì?

Trong không gian (Oxyz ), mặt cầu ((S) ) tâm (I (a; b; c) ) bán kính (r ) có phương trình:

((xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 + (zc) ^ 2 = r ^ 2 )

Phương trình mặt phẳng là gì?

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm (M (x_0; y_0; z_0) ) với vectơ pháp tuyến ( overrightarrow {n} (A; B; C) ) là:

(A (x-x_0) + B (y-y_0) + C (z-z_0) = 0 )

Từ đó ta có phương trình tổng quát của mặt phẳng là

(Ax + By + Cz + D = 0 ) trong đó (A; B; C ) không bằng (0 )

Phương trình của một đường thẳng là gì?

Phương trình tham số của đường thẳng ( Delta ) đi qua điểm (M (x_0; y_0; z_0) ) với vectơ hướng ( overrightarrow {a} (a_1; a_2; a_3) ) là phương trình có hình thức

( left { begin {matrix} x = x_0 + ta_1 \ y = y_0 + ta_2 \ z = z_0 + ta_3 end {matrix} right. ) với (t ) là tham số

Chú ý: Nếu (a_1; a_2; a_3 ) khác với (0 ) thì chúng ta có dạng chuẩn là ( Delta ):

( frac {x-x_0} {a_1} = frac {y-y_0} {a_2} = frac {z-z_0} {a_3} )

Các dạng toán về phương pháp tọa độ lớp 12. khoảng trống

Dạng toán liên quan đến khối cầu

Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu có dạng ((xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 + (zc) ^ 2 = R ^ 2 )

Ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng (AB ) với (A (1; 2; 4) ) và (B (3; 2; -2) )

Giải pháp:

Gọi (I ) là trung điểm (AB )

( Rightarrow I (2; 2; 1) )

( Rightarrow IA ^ 2 = 10 )

Vậy đường tròn yêu cầu có tâm ( Rightarrow I (2; 2; 1) ) và bán kính (R ^ 2 = IA ^ 2 = 10 ) nên phương trình là:

((x-2) ^ 2 + (y-2) ^ 2 + (z-1) ^ 2 = 10 )

Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu có dạng (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-2ax-2by-2cz-d = 0 )

Ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm như sau:

(A (1; 1; 2); B (2,1,2); C (1; 1; 3); D (2; 3; 2) )

Giải pháp:

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng:

(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-2ax-2by-2cz-d = 0 )

Lần lượt thay tọa độ của 4 điểm (A, B, C, D ), ta được hệ phương trình:

( left { begin {matrix} 1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2-2a-2b-4c-d = 0 \ 2 ^ 2 + 1 ^ 2 + 2 ^ 2-4a-2b- 2c-d = 0 \ 1 ^ 2 + 1 ^ 2 + 3 ^ 2-2a-2b-6c-d = 0 \ 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2-4a-6b-4c-d = 0 end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} 2a + 2b + 4c + d = 6 \ 4a + 2b + 2c + d = 9 \ 2a + 2b + 6c + d = 11 \ 4a + 6b + 4c + d = 17 end {matrix} right. )

( Leftrightarrow (a; b; c; d) = (4; frac {3} {4}; frac {5} {2}; – frac {27} {2}) )

Vậy phương trình của mặt cầu là:

(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 -8x- frac {3y} {2} -5z + frac {27} {2} = 0 )

Dạng toán liên quan đến mặt phẳng

Các vấn đề về lập phương trình phẳng

Nhìn chung, với dạng bài này, chúng ta đều cần tìm hai điều kiện là tọa độ của một điểm trong mặt phẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm (A (1; 3; 3); B (2; 1; 2); C (1; 1; 2) )

Giải pháp:

Chúng ta có:

( overrightarrow {AB} = (1; -2; -1); overrightarrow {AC} = (0; -2-1) )

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ((ABC ) là:

( overrightarrow {n} = [overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}]= (0; 1; -2) )

Vậy phương trình mặt phẳng ((ABC) = (y-3) -2 (z-3) = 0 )

Hoặc ((ABC) = y-2z + 3 = 0 )

Xem chi tiết tại >>> Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz: Lý thuyết và Bài tập

Vấn đề mặt phẳng tiếp tuyến hình cầu

Với bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm (M (x_0; y_0; z_0) ) đến mặt phẳng ((P): Ax + By + Cz + D = 0 ) là:

(d (m, (P)) = frac {| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D |} { sqrt {A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2}} )

Ví dụ:

Viết phương trình cho mặt phẳng ((P) ) có vectơ pháp tuyến là ( overrightarrow {n} = (1; 2; 1) ) và tiếp tuyến của mặt cầu ((S): (x-2) ^ 2 + (y-1) ^ 2 + (z-1) ^ 2 = 4 )

Giải pháp:

Hình cầu ((S) ) có tâm (I (2; 1; 1) ) và bán kính (R = 2 )

Vì vectơ pháp tuyến của ((P) ) là ( overrightarrow {n} = (1; 2; 1) ) nên phương trình của mặt phẳng P là:

(x + 2y + z + k = 0 )

Vì ((P) ) chạm vào ((S) ), chúng tôi có:

(d (I, (P)) = frac {| 2 + 2 + 1 + k |} { sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 1 ^ 2}} = R = 2 )

( Rightarrow | k + 5 | = 2 sqrt {6} Rightarrow left[begin{array}{l} k=2sqrt{6}-5\k=-2sqrt{6}-5 end{array}right.)

Vậy phương trình mặt phẳng ( (P) ) là :

(x+2y+z+2sqrt{6}-5=0) hoặc (x+2y+z-2sqrt{6}-5=0)

Dạng toán liên quan đến đường thẳng

Các bài toán viết phương trình đường thẳng 

Ví dụ:

Viết phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm (M(1;2;2)) và vuông góc với mặt phẳng ((P):x+3y-z+2=0)

Cách giải:

Vì (d perp (P)) nên véc tơ pháp tuyến của ( (P) ) chính là véc tơ chỉ phương của ( d )

Vậy phương trình của đường thẳng ( d ) là :

(left{begin{matrix} x=1+t\ y=2+3t \ z=2-t end{matrix}right.)

Xem chi tiết tại >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ( d ) và ( d’ ) song song với nhau ta làm như sau :

• Bước 1: Chọn một điểm ( M ) bất kì nằm trên đường thẳng ( d’ )
• Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng ( (P) ) đi qua ( M ) và vuông góc với ( d ) . Tìm giao điểm ( H ) của mặt phẳng ( (P) ) với đường thẳng ( d )
• Bước 3: Tính khoảng cách ( MH ) . Đây chính là khoảng cách của ( d, d’ )

Ví dụ:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :

(d:left{begin{matrix} x=1+2t\ y=2+t \ z=1-2t end{matrix}right.) và (d’:left{begin{matrix} x=2+2t\ y=4+t \ z=3-2t end{matrix}right.)

Cách giải:

Trên đường thẳng ( d’ ) lấy điểm ( M(2;4;3) )

Phương trình mặt phẳng ( (P) ) qua ( M ) và vuông góc với ( d ) là :

( 2(x-2) + (y-4) – 2(z-3) =0 )

(Leftrightarrow 2x+y-2z-2=0)

Giả sử ((P)cap d=H(1+2k;2+k;1-2k))

(Rightarrow 2(1+2k)+(2+k)-2(1-2k)-2=0)

(Rightarrow k=0 Rightarrow H(1;2;1))

Vậy (d(d;d’)=d(M,d)=MH =3)

Các bài toán về góc 

Ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Trong một số bài toán hình học không gian, ta có thể lợi dụng các tính chất vuông góc để gắn trục tọa độ vào bài toán một cách thích hợp rồi từ đó sử dụng các công thức tọa độ để tính toán dễ dàng hơn. Các bước cụ thể như sau :

• Bước 1: Gắn trục tọa độ ( Oxyz ) vào bài toán thích hợp
• Bước 2: Tính toán để xác định tọa độ các điểm trong bài toán
• Bước 3: Sử dụng các công thức tọa độ để tính toán theo yêu cầu của bài toán

Ví dụ:

Cho hình chóp ( S.ABCD ) có đáy là hình vuông cạnh ( a ) và ( SA ) vuông góc với đáy , ( SC ) tạo với đáy một góc bằng (45^{circ}). Tính thể tích khối chóp ( S.ABCD ) theo ( a ) và khoảng cách từ ( B ) đến mặt phẳng ( (SCD) )

Cách giải:

Ta có :

(A(0;0;0))

(AB=a Rightarrow B(a;0;0))

(AD=0 Rightarrow D(0;a;0))

(AC = asqrt{2} Rightarrow AS=AC =asqrt{2} Rightarrow S(0;0;asqrt{2}))

(AB=AC =a Rightarrow C(a;a;0))

Vì vậy :

(overrightarrow{SC}=(a;a;-asqrt{2})=(1;1;-sqrt{2}))

(overrightarrow{SD}=(0;a;-asqrt{2})=(0;1;-sqrt{2}))

Vậy véc tơ pháp tuyến của ( (SCD) ) là :

(vec{n} = [overrightarrow{SC}.overrightarrow{SD}]= (0; – sqrt {2}; 1) )

Vậy phương trình mặt phẳng ((SCD) ) là:

(- sqrt {2} y-z + a sqrt {2} = 0 )

Cho nên :

(V_ {S.ABCD} = frac {1} {3} .SA.S_ {ABCD} = frac {a ^ 3 sqrt {2}} {3} )

(d (B, (SCD)) = frac {a sqrt {6}} {3} )

Một số câu hỏi về phương pháp tọa độ trong không gian trắc nghiệm

Câu hỏi 1:

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz ) cho ba điểm (M (10; 9; 12), N (-20; 3; 4), -50, -3, -4) ). Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

1. (MN bot (xOy) )
2. (MN in (xOy) )
3. (MN song song (xOy) )
4. (M, N, P ) xếp hàng

( Rightarrow ) Câu trả lời DỄ DÀNG

Câu 2:

Trong không gian (Oxyz ), mặt phẳng ((P) ) đi qua (A (−2; 1; 3) ) và song song với ((Q): x – 3y + z + 5 = 0 ) cắt (Oy ) tại điểm có tọa độ là:

1. ( đầu tiên )
2. (3 )
3. ( frac {1} {3} )
4. ( frac {2} {3} )

( Rightarrow ) Câu trả lời DỄ DÀNG

Câu hỏi 3:

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz ) cho mặt phẳng (( alpha): 2x + y + z + 5 = 0 ) và đường thẳng ( Delta ) đi qua (M (1; 3) ; 2) ) và có vectơ chỉ phương ( vec {u} = (3; -1; -3) ) cắt (( alpha) ) tại (N ). Tính độ dài của đoạn (MN )

1. (MN = 21 )
2. (MN = sqrt {21} )
3. (MN = sqrt {770} )
4. (MN = sqrt {684} )

( Rightarrow ) Câu trả lời DỄ DÀNG

Câu hỏi 4:

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz ) cho các điểm: (A (a; 0; a); B (0; a; a); C (a; a; 0) ). Mặt phẳng ((ABC) ) cắt các trục (Ox, Oy, Oz ) lần lượt tại các điểm (M, N, P ). Thể tích của tứ diện (OMNP ) là:

1. (4a ^ 3 )
2. (8a ^ 3 )
3. ( frac {4a ^ 3} {3} )
4. ( frac {8a ^ 3} {3} )

( Rightarrow ) ĐÁP ÁN

Câu hỏi 5:

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz ) cho mặt cầu ((S): x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 – 2x + 4y – 4z + 7 = 0 ). Tìm điểm (M ) trên ((S) ) sao cho khoảng cách từ (M ) đến trục (Ox ) là nhỏ nhất

1. (M (0; -3; 2) )
2. (M (2; -2; 3) )
3. (M (1; -1; 1) )
4. (M (1; -3; 3) )

( Rightarrow ) Câu trả lời DỄ DÀNG

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết, một số dạng toán cũng như ứng dụng của phương pháp tọa độ trong không gian. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Các khoa liên quan:

• phương pháp tọa độ cực trong trắc địa
• phương pháp tọa độ trong hình học phẳng
• phương pháp hợp lưu để xác định tọa độ của điểm
• phương pháp tọa độ vuông góc trong trắc địa
• phương pháp nhập tọa độ trong autocad
• Phương pháp mặt phẳng tọa độ luyện thi đại học
• ứng dụng của phương pháp tọa độ trong không gian
• phương pháp tọa độ trong không gian với nghiệm
• phương pháp tọa độ trong hình học phẳng
• phương pháp tọa độ trong không gian về phía đông việt nam
• phương pháp tọa độ trong mặt phẳng khó và nâng cao
• công thức phương pháp tọa độ trong không gian
• chuyên đề về phương pháp tọa độ ở lớp 12. khoảng trống
• thử nghiệm phương pháp tọa độ trong không gian tím