Chuyên đề Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là dạng toán thường gặp trong hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10. Vậy phương trình đường thẳng là gì? Làm thế nào để viết một phương trình tổng quát đi qua 2 điểm? Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị như thế nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, cùng tìm hiểu nhé!

Phương trình của một đường thẳng là gì?

Phương trình tham số của đường

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho đường thẳng ( Delta ) đi qua điểm (M (x_0; y_0) ) và lấy ( vec {u} (u_1; u_2) ) làm đường trỏ hướng véc tơ. Khi đó phương trình tham số của đường ( Delta ) là:

( left { begin {matrix} x = x_0 + u_1t \ y = y_0 + u_2t end {matrix} right. ) với (t ) là tham số.

Đối với mỗi giá trị cụ thể của (t ), chúng tôi nhận được tọa độ của một điểm nằm trên đường ( Delta )

Phương trình tổng quát của đường

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho đường thẳng ( Delta ) đi qua điểm (M (x_0; y_0) ) và lấy ( vec {n} (a, b) ) làm pháp tuyến đường vectơ. Khi đó phương trình tổng quát của dòng ( Delta ) là:

( Delta: a (x-x_0) + b (y-y_0) = 0 )

( Rìu mũi tên trái + by + c = 0 )

***Chú ý:

Chúng tôi biết rằng nếu ( vec {u} (u_1; u_2) ) là vectơ chỉ hướng của dòng ( Delta ) thì ( vec {u ‘} = (- u_2; u_1) ) là một vectơ pháp tuyến của ( Delta ). Vì vậy, phương trình tổng quát của dòng ( Delta ) là:

( Delta: -u_2 x + u_1y + c = 0 )

Phương trình tổng quát của đường thẳng có thể chuyển thành dạng:

(y = ax + b ).

Khi đó (a ) được gọi là hệ số góc của đường thẳng

Xem chi tiết >>> Hệ số góc của đường thẳng là gì? Cách tính độ dốc của đường thẳng

Cách viết phương trình của đường thẳng đi qua 2 điểm

Bài toán: Trong mặt phẳng (Oxy ) cho hai điểm (A (x_1; y_1) ) và (B (x_2; y_2) ). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A; B )

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi có hai cách:

Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa

• Bước 1: Xác định vectơ ( overrightarrow {AB} = (x_2-x_1; y_2-y_1) )
• Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến của dòng (AB ): ( vec {n} = (y_1-y_2; x_2-x_1) )
• Bước 3: Viết phương trình cho dòng (AB: (y_1-y_2) (x-x_1) + (x_2-x_1) (y-y_1) = 0 )

***Chú ý: Đơn giản hóa công thức trên, chúng ta nhận được

( frac {x-x_1} {x_2-x_1} = frac {y-y_1} {y_2-y_1} )

Đây là công thức viết nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước, thường được sử dụng trong các bài toán trắc nghiệm.

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho hai điểm (A (1; 2) ) và (B (3; -1) ). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A; B )

Giải pháp:

Chúng ta có :

( vec {AB} = (2; -3) )

( Rightarrow vec {n} = (3; 2) ) là vectơ bình thường đối với dòng (AB )

Vậy phương trình của đường thẳng (AB ) là:

(3 (x-1) +2 (y-2) = 0 )

( Mũi tên trái 3x + 2y-7 = 0 )

Một cách khác: Áp dụng công thức nhanh, chúng ta có phương trình của đường thẳng (AB ) là:

( frac {x-1} {2} = frac {y-2} {- 3} )

( Mũi tên trái 3x + 2y-7 = 0 )

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình tổng quát

• Bước 1: Gọi phương trình của đường thẳng (AB ) là: (y = ax + b )
• Bước 2: Lần lượt, thay các tọa độ (A; B ) ta được:
  • ( left { begin {matrix} y_1 = ax_1 + b \ y_2 = ax_2 + b end {matrix} right. )
• Bước 3: Giải hệ phương trình trên để tìm (a; b ). Thay vào đó, chúng ta nhận được phương trình của đường (AB )

***Chú ý: Phương pháp này chỉ áp dụng cho các phương trình dòng có dạng (ax + by + c = 0 ) với (a, b neq 0 )

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho hai điểm (A (3; 2) ) và (B (-2; 4) ). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A; B )

Giải pháp:

Gọi phương trình của đường thẳng (AB ) là: (y = ax + b )

Sau đó, thay các tọa độ của (A, B ) ta được:

( left { begin {matrix} 2 = 3a + b \ 4 = -2a + b end {matrix} right. )

Giải hệ trên ta được: ( left { begin {matrix} a = – frac {2} {5} \ b = frac {16} {5} end {matrix} right. )

Thay vào đó, chúng ta nhận được phương trình của đường (AB ):

(y = – frac {2} {5} x + frac {16} {5} )

( Mũi tên trái 2x + 5y-16 = 0 )

Xem chi tiết >>> Phương trình của một đường trong mặt phẳng

Nhận xét:

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm trên trục tọa độ

• Nếu hai điểm nằm trên cùng một trục (Ox Rightarrow ) thì phương trình của đường thẳng là phương trình của trục (Ox: y = 0 )
• Nếu hai điểm nằm trên cùng một trục (Oy Rightarrow ) thì phương trình của đường thẳng là phương trình của trục (Oy: x = 0 )
• Nếu một điểm nằm trên (Ox ) có tọa độ ((a; 0) ) và một điểm nằm trên (Oy ) có tọa độ ((0; b) ) thì phương trình của đường thẳng là:
  • ( frac {x} {a} + frac {y} {b} = 1 ) Đây là phương trình của đường thẳng dọc theo điểm giao nhau.

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho hai điểm (A (0; 2) ) và (B (3; 0) ). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A; B )

Giải pháp:

Vì hai điểm (A; B ) nằm trên hai trục toạ độ nên ta sử dụng phương trình của đường thẳng dọc theo giao điểm:

(AB: frac {x} {3} + frac {y} {2} = 1 )

( Mũi tên trái 2x + 3y-6 = 0 )

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm có cùng hoành độ và tọa độ

• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ((a; y_1) ) và ((a; y_2) ) có dạng: (x = a )
• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ((x_1; b) ) và ((x_2; b) ) có dạng: (y = b )

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho hai điểm (A (7; 2) ) và (B (100; 2) ). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm (A; B )

Giải pháp:

Vì hai điểm (A, B ) có cùng tọa độ nên

( Rightarrow ) phương trình của đường (AB: y = 2 )

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị

Vấn đề: Cho một hàm số bậc ba (y = f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) với (2 ) điểm cực trị (A (x_1; y_1); B (x_2; y_2) ). Viết phương trình đường thẳng đi qua (2 ) điểm cực trị đó?

Với các bài toán về hàm số đã biết (f (x) ), ta có thể dễ dàng tìm được toạ độ của hai điểm cực trị rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Đối với các bài toán trong đó hàm (f (x) ) có hệ số chứa tham số (m ), chúng ta thực hiện như sau để viết phương trình đường thẳng chứa tham số (m ) của hai điểm cực trị:

Giải pháp:

• Bước 1: Tính đạo hàm (y ‘= 3ax ^ 2 + 2bx + c )
• Bước 2: Chia hàm (y ) cho (y ‘) ta được:
  • (f (x) = Q (x) .f ‘(x) + P (x) ) trong đó (P (x) = Ax + B ) là một hàm bậc nhất
• Bước 3: Vì (f ‘(x_1) = f’ (x_2) = 0 ) nên:
  • ( left { begin {matrix} y_1 = f (x_1) = Ax_1 + B \ y_2 = f (x_2) = Ax_2 + B end {matrix} right. Rightarrow ) phương trình của dòng là (y = Ax + B )
  • Từ các bước trên ta có thể tính được công thức tính nhanh phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số bậc ba (y = f (x) = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) như :
  • ( frac {2} {3} (c- frac {b ^ 2} {3a}) x + (d- frac {bc} {9a}) )

Ví dụ:

Cho hàm số (y = 2x ^ 3 + 3 (m-1) x ^ 2 + 6 (m – 2) x – 1 ). Tìm m để hàm số có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng (y = -4x + 1 )

Giải pháp:

Ta có: (y ‘= 6x ^ 2 +6 (m-1) x + 6 (m-2) )

Hàm có hai cực trị ( Leftrightarrow Delta = (m-1) ^ 2-4 (m-2)> 0 )

( Leftrightarrow (m-3) ^ 2> 0 Leftrightarrow m neq 3 )

Để một đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng (y = -4x + 1 ) thì hệ số góc của đường thẳng đó phải là (-4 )

Áp dụng công thức tính nhanh, ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

(- 4 = frac {2} {3}[6(m-2)-frac{9(m-1)^2}{6}] = 4 (m-2) – (m-1) ^ 2 )

( Leftrightarrow – (m-3) ^ 2 = -4 Leftrightarrow left[begin{array}{l}m=1\m=5end{array}right)[begin{array}{l}m=1m=5end{array}right)[begin{array}{l}m=1m=5end{array}right)[begin{array}{l}m=1m=5end{array}right)

Xem chi tiết >>> Cực trị của hàm số bậc 3 và công thức tính cực nhanh

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và một số ví dụ về bài toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Các khoa liên quan:

• viết phiếu trả lời qua 2 điểm vào lớp 10
• viết phương trình của đường thẳng lớp 10
• Viết phương trình tổng quát đi qua 2 điểm
• viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm vào lớp 10
• viết phương trình tham số đi qua 2 điểm lớp 10
• viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ở lớp 11
• viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 10.
• Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị