Chuyên đề cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số là dạng toán thường gặp trong chương trình Toán ôn thi THPT Quốc gia. Vậy phép đối xứng tâm là gì? Khi nào thì đồ thị có tâm đối xứng? Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị? Cách xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Tâm đối xứng của đồ thị của hàm số là gì?

Cho hàm số (y = f (x) ) có đồ thị là ((C) ). Giả sử (I ) là một điểm thoả mãn tính chất: một điểm bất kỳ (A ) trên đồ thị ((C) ) nếu đối xứng với (I ) ta được một điểm (A ‘) cũng thuộc đến ((C) ) thì ta nói (I ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (y = f (x) )

Thiên nhiên:

• Cho hàm (y = f (x) ). Khi đó hàm có tâm đối xứng tại gốc (O (0; 0) Leftrightarrow f (x) ). Hàm lẻ: (f (-x) = -f (x) )

• Giả sử hàm (y = f (x) ) nhận điểm (I (x_0; y_0) ) làm tâm đối xứng, thì chúng ta có thuộc tính:
  • (f (x + x_0) + f (-x + x_0) = 2y_0 ) cho tất cả (x in mathbb {R} )

***Chú ý:

• Phép đối xứng tâm có thể nằm ngoài hoặc trên đồ thị của hàm số. Nếu hàm (f (x) ) liên tục trên ( mathbb {R} ) thì tâm đối xứng của nó (nếu có) là một điểm trên đồ thị của hàm đó.
• Không phải hàm số nào cũng có tâm đối xứng, chỉ một số hàm số có tâm đối xứng.

Điểm uốn của đồ thị hàm số là gì?

Định nghĩa điểm uốn của đồ thị hàm số

Cho hàm (y = f (x) ). Khi đó điểm (U (x_0; y_0) ) được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số nếu tồn tại một khoảng ((a; b) ) chứa điểm (x_0 ) sao cho nằm trên một trong các hai khoảng ((a; x_0) ) và ((x_0; b) ) thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (U ) nằm phía trên đồ thị và trên khoảng còn lại thì tiếp tuyến ở phía dưới. đồ thị.

Định lý về điểm uốn của đồ thị hàm số

Nếu hàm (y = f (x) ) có đạo hàm bậc (2 ) trên khoảng chứa điểm (x_0 ) sao cho:

(f ” (x_0) = 0 ) và (f ” (x) ) đổi dấu khi đi qua điểm (x_0 ) thì điểm ((x_0; f (x_0)) ) là điểm uốn của đồ thị hàm (f (x) )

Do đó, để xác định điểm uốn của đồ thị hàm số (f (x) ), ta chỉ cần giải phương trình: (f ” (x) = 0 ). Nghiệm của phương trình đó là tọa độ của điểm uốn hàm

***Chú ý: Tọa độ tâm đối xứng của hàm số bậc ba là điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba. Như vậy, hàm số bậc 3 luôn có tâm đối xứng.

Cách tìm điểm uốn của đồ thị hàm số y = f (x)

Phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức biến đổi hệ tọa độ

Trong các bài toán về phép đối xứng, ta cần tịnh tiến trục tọa độ về tâm đối xứng. Do đó, chúng ta cần nắm vững các công thức chuyển đổi trục tọa độ:

Giả sử (x; f (x_0) ) là một điểm trong mặt phẳng tọa độ (Oxy ). Phép tịnh tiến theo vectơ ( overrightarrow {OI} ) biến hệ tọa độ (Oxy ) thành hệ tọa độ (IXY ).

Giả sử (M ) là một điểm bất kỳ của mặt phẳng.

• ((x; y) ) là toạ độ của (M ) đối với hệ toạ độ (Oxy )
• ((X; Y) ) là toạ độ của (M ) đối với hệ toạ độ (IXY )

Ta có công thức chuyển đổi hệ tọa độ:

( left { begin {matrix} X = x-x_0 \ Y = y-y_0 end {matrix} right. )

Bài tập về phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số

Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Để xác định tâm đối xứng của hàm (y = f (x) ) ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Giả sử (I (a; b) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (f (x) ). Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ (Oxy rightarrow IXY ):
  • ( left { begin {matrix} x = X + a \ y = Y + b end {matrix} right. )
• Bước 2: Viết công thức hàm mới trong hệ tọa độ mới:
  • Chúng ta nhận được một hàm có dạng: (Y + b = f (X + a) Leftrightarrow Y = g (X) )
• Bước 3: Tìm (a; b ) để hàm (g (X) ) là một hàm lẻ:
  • (g (-X) = -g (X) )

Khi đó ta chứng minh được rằng đồ thị của hàm số nhận điểm (I (a; b) ) là tâm đối xứng

Ví dụ:

Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số: (y = frac {2x} {x + 1} )

Giải pháp:

Giả sử hàm số nhận điểm (I (a; b) ) làm tâm đối xứng. Sau đó dịch trục tọa độ theo vectơ ( overrightarrow {OI} ) Ta có:

( left { begin {matrix} x = X + a \ y = Y + b end {matrix} right. )

Vì vậy, hàm đã cho tương đương với:

(Y + b = frac {2 (X + a)} {X + a + 1} )

( Leftrightarrow Y = 2-b- frac {2} {X + a + 1} )

Đối với hàm trên là số lẻ, thì:

( left { begin {matrix} 2-b = 0 \ a + 1 = 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} a = -1 \ b = 2 end {matrix} right. )

Vậy (I (-1; 2) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Bản tóm tắt:

• Hàm (y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) với (a neq 0 ) có tâm đối xứng là điểm ((- frac {b} {3a}; y ( – frac {b} {3a})) ). Đây là điểm uốn của hàm 3
• Hàm (y = frac {ax + b} {cx + d} ) với (c neq 0; ad neq bc ) có tâm đối xứng tại ((- frac {d} { c}; frac {a} {c}) )
• Hàm (y = frac {ax ^ 2 + bx + c} {dx + e} ) với (a, d neq 0 ) có tâm đối xứng là điểm ((- frac {e } {d}; y (- frac {e} {d})) )

Tìm điều kiện của tham số để đồ thị của hàm số nhận một điểm đã cho làm tâm đối xứng

Vấn đề: Cho hàm (y = f (x) ) có chứa tham số (m ). Xác định giá trị của (m ) để hàm số đã cho nhận điểm (I (a; b) ) đã cho làm tâm đối xứng

Để giải quyết vấn đề trên, chúng tôi thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Thực hiện phép tịnh tiến trục tọa độ (Oxy rightarrow IXY ):
  • ( left { begin {matrix} x = X + a \ y = Y + b end {matrix} right. )
• Bước 2: Viết công thức hàm mới trong hệ tọa độ mới:
  • Chúng ta nhận được một hàm có dạng: (Y + b = f (X + a) Leftrightarrow Y = g (X) )
• Bước 3: Từ hàm trên tìm điều kiện của (m ) để hàm (g (X) ) là hàm lẻ:
  • (g (-X) = -g (X) )

Ví dụ:

Tìm giá trị của (m ) để hàm số (y = x ^ 3-3x ^ 2 + 3mx + 3m + 2 ) có tâm đối xứng tại (I (1; 2) )

Giải pháp:

Vì đây là hàm bậc (3 ) nên tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm uốn của hàm số

Ta có: (y ‘= 3x ^ 2-6x + 3m Rightarrow y’ ‘= 6x-6 )

(y ”= 0 Mũi tên trái x = 1 )

Vậy thay vào đó ta lấy tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm ((1; 6m) )

Vậy gọi (I (1; 2) ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số thì

(6m = 2 Left rightarrow m = frac {1} {3} )

Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số đối xứng nhau qua một điểm cho trước

Vấn đề: Cho hàm (y = f (x) ). Tìm hai điểm (A; B ) trên đồ thị của hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm đã cho (I (a; b) ).

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng thuộc tính:

Nếu hai điểm (A (x_A; y_A); B (x_B; y_B) ) đối xứng nhau qua điểm (I (x_0; y_0) ) thì

( left { begin {matrix} x_A + x_B = 2x_0 \ y_A + y_B = 2y_0 end {matrix} right. )

Ví dụ:

Cho hàm (y = frac {x} {x-3} ). Tìm trên đồ thị của hàm số hai điểm (A, B ) sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm (I (0; -1) )

Giải pháp:

Giả sử hai điểm (A, B ) cần tìm có tọa độ: (A (a; frac {a} {a-3}); B (b; frac {b} {b-3}) )

Để hai điểm đối xứng nhau qua (I (0; -1) ) thì:

( left { begin {matrix} a + b = 0 \ frac {a} {a-3} + frac {b} {b-3} = -1 end {matrix} right. )

Thay phương trình ((1) ) vào phương trình ((2) ) ta được:

( frac {a} {a-3} + frac {a} {a + 3} = – 1 Leftrightarrow frac {2a ^ 2} {a ^ 2-9} = 1 )

( Leftrightarrow 2a ^ 2 = 9-a ^ 2 Leftrightarrow a ^ 2 = 3 Leftrightarrow a = pm sqrt {3} )

Vì vậy, chúng ta có hai điểm cần tìm là ( sqrt {3}; frac {1} {1- sqrt {3}}) và (- sqrt {3}; – frac {1} {1+ sqrt {3}})

Tìm một hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị của một hàm số đã biết qua một điểm cho trước

Vấn đề: Cho hàm (y = f (x) ) và điểm (I (a; b) ). Tìm hàm số (y = g (x) ) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị hàm số (f (x) ) qua điểm (I )

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Gọi (M (x; y) ) là điểm bất kỳ của hàm (g (x) ) cần tìm. Khi đó luôn có một điểm (M ‘(x_0; y_0) ) trên đồ thị của hàm (f (x) )
• Bước 2: Tạo mối quan hệ (M ) và (M ‘)

( left { begin {matrix} x_0 = 2a-x \ y_0 = 2b-y end {matrix} right. )

• Bước 3: Thay vào biểu thức: (y_0 = f (x_0) ) chúng ta nhận được hàm chúng ta cần tìm

Ví dụ:

Cho đường cong ((C): frac {x ^ 2 + x-3} {x + 2} ) và điểm (I (-1; 1) ). Lập phương trình cho đường cong ((C ‘) ) đối xứng với đường cong ((C) ) qua điểm (I )

Giải pháp:

Gọi (M (x; y) ) là điểm bất kỳ trên đường cong ((C ‘) ) cần tìm. Khi đó luôn tồn tại một điểm (M ‘(x_0; y_0) ) trên đường cong ((C): frac {x ^ 2 + x-3} {x + 2} )

Vì (M, M ‘) đối xứng với (I (-1; 1) ) nên ta có:

( left { begin {matrix} x_0 = -2-x \ y_0 = 2-y end {matrix} right. )

Vì (M ‘ in (C) ) nên:

(y_0 = f (x_0) ). Thay vào đó, chúng tôi nhận được:

(2-y = f (-2-x) Mũi tên trái y = 2- frac {(x + 2) ^ 2- (x + 2) -3} {- 2} )

( Leftrightarrow y = frac {(x + 2) ^ 2-x-1} {2} = frac {x ^ 2 + 3x + 3} {2} )

Vậy phương trình đường cong ((C ‘) ) là: (y = frac {x ^ 2 + 3x + 3} {2} )

Các dạng toán về phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và một số dạng bài tập về chủ đề Phép đối xứng tâm của đồ thị hàm số. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề Phép đối xứng tâm của đồ thị. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> Các dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến – Toán 12

Xem thêm >>> Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất, bậc hai, bậc ba và hàm số bậc 4

Xem thêm >>> Các chuyên đề về Cực trị của hàm số bậc 3 và các công thức tính cực nhanh

Xem thêm >>> Cực trị của hàm số là gì? Cực trị của hàm số bậc 3 và bậc 4 và Cực trị của hàm số lượng giác

Các khoa liên quan:

• Khi nào thì đồ thị có tâm đối xứng?
• tọa độ tâm đối xứng của hàm số bậc 3
• tìm m để đồ thị c có điểm i 2 1 là tâm đối xứng
• Đồ thị hàm số nào dưới đây có tâm đối xứng tại điểm i (1; -2)
• cách tìm trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất
• cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc nhất