Chuyên đề các dạng toán về Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch

Tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán lớp 7. Vậy kiến ​​thức về các dạng toán đại lượng tỉ lệ thuận là gì? Tỷ lệ thuận là gì? Tỷ lệ nghịch đảo là gì? Phương pháp giải bài tập tỉ lệ nghịch lớp 7?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, cùng tìm hiểu nhé!

Tỷ lệ thuận là gì?

Nếu số lượng (y ) có liên quan đến số lượng (x ) theo công thức (y = kx ) (trong đó (k ) là một hằng số khác với (0 )) thì chúng ta nói (y ) tỷ lệ với (x ) theo hệ số tỷ lệ (k )

Thiên nhiên: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận thì:

• Tỷ lệ các giá trị tương ứng của chúng không thay đổi
  • ( frac {y_1} {x_1} = frac {y_2} {x_2} =… = frac {y_n} {x_n} = k )
• Tỉ số của hai giá trị bất kỳ của một đại lượng bằng tỉ số của hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
  • ( frac {y_n} {y_m} = frac {x_n} {x_m} )

Tỷ lệ nghịch đảo là gì?

Nếu số lượng (y ) liên quan đến số lượng (x ) theo công thức (y = frac {k} {x} ) hoặc (xy = k ) (với (k ) là một hằng số khác với (0 )) thì chúng ta nói (y ) tỉ lệ nghịch với (x ) theo hệ số tỉ lệ (k )

Thiên nhiên: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch thì:

• Sản phẩm của các giá trị tương ứng của chúng không thay đổi:
  • (x_1.y_1 = x_2.y_2 =… = x_n.y_n = k )
• Tỉ số của hai giá trị bất kỳ của một đại lượng bằng nghịch đảo của tỉ số của hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:
  • ( frac {y_n} {y_m} = frac {x_m} {x_n} )

Phương pháp giải bài tập tỉ lệ nghịch lớp 7

Để giải các bài toán về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch lớp 7 cần thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Phân tích bài toán, xác định đại lượng tỉ lệ thuận hay nghịch biến
• Bước 2: Tìm hằng số (k ) rồi áp dụng một trong ba cách sau: rút gọn về hàng đơn vị, tìm tỉ số và tam thức đơn giản để tính đại lượng cần tìm.
• Bước 3: Kết luận, trả lời.

Phương thức 1: Phương thức rút tiền về đơn vị

Thường được áp dụng cho các bài toán về năng suất. Từ số liệu của bài toán, ta tính được một đơn vị của đại lượng này tương ứng với bao nhiêu. Sau đó nhân với số đơn vị của đại lượng mà bài toán yêu cầu tìm để được kết quả.

Ví dụ:

Có một công việc mà nếu (15 ) công nhân làm, nó sẽ hoàn thành sau 6 ngày. Nếu bạn muốn hoàn thành công việc trong (2 ) ngày thì cần bao nhiêu công nhân? Giả sử năng suất của mỗi công nhân là như nhau

Giải pháp:

Ta thấy rằng nếu số lượng công nhân tăng lên thì thời gian lao động sẽ giảm xuống. Vì vậy, đây là một bài toán tỷ lệ nghịch với hệ số (k = 15 times 6 = 90 )

Chúng tôi áp dụng phương pháp giảm đơn vị sau:

Để hoàn thành công việc trong 1 ngày, số công nhân cần làm là:

( frac {15,6} {1} = 90 ) (công nhân)

Vậy để hoàn thành công việc trong thời gian 2 ngày thì số công nhân cần làm là:

(90: 2 = 45 ) (công nhân)

Vì vậy, nếu bạn muốn hoàn thành công việc đó trong (2 ) ngày, bạn cần (45 ) nhân công.

Cách 2: Phương pháp tìm tỉ số

Phương pháp này sử dụng tính chất của bài toán tỷ lệ:

Tỉ số của hai giá trị bất kỳ của một đại lượng bằng tỉ số (với đại lượng tỉ lệ thuận) hoặc tỉ lệ nghịch với đại lượng tỉ lệ nghịch) hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Ví dụ:

Một xe máy có vận tốc (v = 45 ; ; km / h ) và một ô tô (v = 60 ; ; km / h ) cùng xuất phát từ Hà Nội và đi đến Hà Nội. Thanh Hóa. Biết thời gian xe máy đi được là (4 ) giờ. Ô tô đi mất bao nhiêu thời gian?

Giải pháp:

Vì tốc độ càng cao thì thời gian di chuyển càng ngắn nên đây là bài toán nghịch

Do đó, nếu ta gọi thời gian ô tô thực hiện là (x ), thì theo tính chất trên ta có tỉ số:

( frac {45} {60} = frac {x} {4} )

Vì vậy, từ đó ( Rightarrow x = frac {45} {60} .4 = 3 )

Vậy thời gian ô tô đi là (3 ) giờ

Phương pháp 3: Phương pháp lượng giác đơn giản

Đây là phương pháp thường được sử dụng với học sinh tiểu học và giữ cho các phép tính gọn gàng. Các bài toán về tỷ lệ thường sẽ lấy giá trị (3 ) của đại lượng (nhỏ) và sau đó yêu cầu chúng tôi tính giá trị của đại lượng (4 ). Bằng cách sử dụng tính chất của tỷ lệ thuận, tỷ lệ nghịch, chúng ta có thể dễ dàng tính được giá trị của đại lượng này.

Ví dụ:

Một nhóm công nhân với (5 ) người có thể sản xuất (35 ) sản phẩm trong một ngày. Hỏi nếu chỉ (3 ) công nhân có thể sản xuất được bao nhiêu sản phẩm trong một ngày.

Giải pháp:

Vì số lượng công nhân tăng lên thì số lượng sản phẩm sẽ tăng lên nên đây là bài toán tỷ lệ thuận.

Do đó, áp dụng tính chất tương xứng, chúng ta có số lượng sản phẩm (3 ) công nhân có thể sản xuất trong một ngày là:

(35 nhân 3: 5 = 21 ) (sản phẩm)

Vì vậy, trong một ngày, (3 ) công nhân có thể sản xuất (21 ) sản phẩm.

Các bài toán tỉ lệ nghịch lớp 7 nâng cao

Dạng bài toán tỉ số được rút gọn thành bài toán tổng tỉ số, hiệu tỉ số

Với những dạng bài toán này, chúng ta cần tìm tỉ số (k ) giữa hai đại lượng. Sau đó kết hợp với số liệu tổng (hiệu) mà bài toán đưa ra để tìm giá trị của từng đại lượng

Ví dụ:

Hai ô tô phải đi từ (A ) đến (B ). Nếu vận tốc của ô tô thứ nhất bằng (60% ) vận tốc của ô tô thứ hai và thời gian để ô tô thứ nhất đi từ (A ) đến (B ) là (3 ) giờ. Tính thời gian đi của mỗi xe

Giải pháp:

Vì tốc độ tăng, thời gian đi lại giảm nên hai đại lượng này tỉ lệ nghịch

Do đó, vì vận tốc của ô tô thứ nhất bằng (60% ) vận tốc của ô tô thứ hai nên

Thời gian đi của ( Rightarrow ) của ô tô thứ hai bằng (60% = frac {3} {5} ) thời gian đi của ô tô thứ nhất.

Vì vậy, chúng tôi có sơ đồ sau:

Phần chênh lệch bằng nhau là: (5-3 = 2 ) (phần)

Giá trị của mỗi phần là: (3: 2 = 1,5 ) (giờ)

Vậy thời gian đi xe đầu tiên là: (1,5 lần 5 = 7,5 ) (giờ)

Thời gian đi xe thứ hai là: (7,5-3 = 4,5 ) (giờ)

Vậy ô tô thứ nhất đi trong (7,5 ) giờ, ô tô thứ hai đi mất (4,5 ) giờ.

Xem chi tiết >>> Chuyên đề bài toán chênh lệch: Tổng hợp lý thuyết và phương pháp giải

Các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận – Bài toán lượng giác kép

Trong các bài toán tỷ lệ thường có ba đại lượng. Ví dụ

• Tốc độ, khoảng cách, thời gian
• Số lượng người, năng suất, khối lượng công việc

Trong các bài toán trên, sẽ có một dữ liệu cố định và hai dữ liệu biến (lượng giác đơn giản). Trường hợp cả ba đại lượng thay đổi đồng thời ta gọi là bài toán lượng giác kép

Để giải các bài toán lượng giác nhân đôi, ban đầu chúng ta cũng cố định một đại lượng. Sau khi tính toán như một bài toán lượng giác đơn giản, ta nhân đại lượng đó với tỉ số cần tìm để tìm ra đáp số.

Ví dụ:

Một nhà máy với (100 ) công nhân làm việc trong (3 ) ngày có thể sản xuất (600 ) sản phẩm. Cần bao nhiêu công nhân để sản xuất (900 ) sản phẩm trong vòng (2 ) ngày?

Giải pháp:

Đầu tiên, chúng tôi cố định số lượng sản phẩm là (600 )

Để sản xuất (600 ) sản phẩm trong vòng (2 ) ngày, số lượng công nhân cần thiết là:

( frac {100.3} {2} = 150 ) (công nhân)

Vì vậy, để sản xuất (900 ) sản phẩm trong vòng (2 ) ngày, số lượng công nhân cần thiết là:

( [latex]150 times frac {900} {600} = 225 ) (công nhân)

Vì vậy, để sản xuất (900 ) sản phẩm trong vòng (2 ) ngày, phải mất (225 ) công nhân.

Làm thế nào để phân biệt các bài toán nghịch đảo và tỉ lệ thuận?

• Tỉ lệ: Nếu lượng x tăng thì lượng y tăng. Nếu đại lượng x giảm thì đại lượng y giảm (Quan hệ cùng chiều).
• Tỷ lệ nghịch đảo: Nếu lượng x tăng thì lượng y giảm. Ngược lại, nếu đại lượng y tăng thì đại lượng x giảm (Mối quan hệ ngược lại).

Bài tập các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận với tỉ lệ nghịch

Dưới đây là một số bài toán về tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch có đáp án để các bạn luyện tập:

Bài 1:

Một hình tam giác có hai cạnh là độ dài (6cm ) và (9cm ). Tổng độ dài của hai đường cao ứng với hai cạnh đó là (7,5 cm ). Tính diện tích tam giác đó?

Trả lời: (13,5 cm ^ 2 )

Bài 2:

Một nhà máy có (20 ) công nhân được chỉ định hạn ngạch sản xuất [/latex] 120 [/latex] sản phẩm trong vòng (5 ) ngày. Sau (2 ) ngày, nhà máy cần đẩy nhanh tiến độ nên đã nhận (10 ​​) công nhân từ nhà máy khác đến làm việc. Số sản phẩm còn lại sẽ hoàn thành trong bao nhiêu ngày?

Trả lời: (2 ) ngày

Bài 3:

Một ô tô đi từ (A ) đến (B ) bao gồm (3 ) quãng đường. Đoạn (AC ) lên dốc nên vận tốc của ô tô là (40 ; km / h ). Đường đi (CD ) bằng phẳng nên vận tốc của ô tô là (60 ; km / h ). Đường (DB ) xuống dốc nên vận tốc của ô tô là (80 ; km / h ). Biết tổng thời gian ô tô đi hết quãng đường (AB là [latex] 9 giờ. Biết độ dài của mỗi chân là như nhau. Tính độ dài của khoảng cách (AB )

Trả lời: (480 ; km )

Bài 4:

Nếu (5 ) người, mỗi người làm việc trong (6 ) giờ sẽ nhận được (150.000 ) VNĐ. Hỏi nếu (20 ) người, mỗi người làm việc trong (4 ) giờ thì họ sẽ nhận được bao nhiêu tiền? (Biết rằng giá trị số giờ của mỗi người là như nhau.)

Trả lời: (400.000 ) VND

Bài 5:

Nếu ( frac {1} {4} ) của 20 là 4 thì ( frac {1} {3} ) của 10 là bao nhiêu?

Giải pháp:

Chúng ta có:

( frac {1} {4} ) của 20 là 5, nhưng theo giả thuyết đầu ra, con số này tương ứng với 4.

Tương tự ( frac {1} {3} ) của 10 là ( frac {10} {3} ), theo giả định rằng số này ( frac {10} {3} ) phải tương ứng đến số (x ) cần tìm.

Vì 5 và ( frac {10} {3} ) tương ứng với (4 ) và (x ) là các đại lượng tỷ lệ thuận, do đó:

( frac {5} { frac {10} {3}} = frac {4} {x} Rightarrow x = frac {4. frac {10} {3}} {5} = frac {8} {3} )

Vì vậy (x = frac {8} {3} ).

Giải bài 1 SGK toán 7 tập 1 tr53

Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau và khi x = 6 thì y = 4

1. Tìm hệ số tỉ lệ k của y đối với x
2. Biểu thị y theo x
3. Tính giá trị của y khi x = 9; x = 15

Giải pháp:

Vì hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau nên ta có công thức chung: (y = kx )

1. Với (x = 6; y = 4 Rightarrow 4 = k6 )

• • Xuất phát: (k = frac {4} {6} = frac {2} {3} )
  • Vì vậy, hệ số tỷ lệ (k = frac {2} {3} )

2. Với (k = frac {2} {3} ) chúng ta nhận được (y = frac {2} {3} x )

3. Ta có: (y = frac {2} {3} x )

• • Đối với x = 9 thì (y = frac {2} {3} .9 = 6 )
  • Đối với x = 15 thì (y = frac {2} {3} .15 = 10 )

Bài 4 SGK toán lớp 7 tập 1, 54

Gọi z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k và y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ h. Chứng tỏ rằng z tỉ lệ thuận với x và tìm hệ số tỉ lệ.

Giải pháp:

Theo chủ đề chúng tôi có:

• z tỷ lệ với y theo hệ số tỷ lệ k, do đó (z = ky (1) )
• y tỷ lệ với x theo hệ số tỷ lệ h, do đó: (y = hx (2) )
• Từ (1) và (2) suy ra: (z = ky = k (hx) = (kh) x )
• Vì vậy, z tỷ lệ với x theo hệ số tỷ lệ (kh )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch cũng như cách giải. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chuyên đề “các dạng toán về đại lượng tỉ lệ thuận”. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem chi tiết qua bài giảng sau của thầy Đỗ Văn Bảo:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc lớp 7: Lý thuyết và Bài tập

Xem thêm >>> Chuyên đề điểm trung bình lớp 7 và các dạng toán liên quan

Xem thêm >>> Định nghĩa tam giác cân, tam giác vuông cân – Toán lớp 7