Chuyên đề Các dạng đồ thị hàm số cơ bản và nâng cao [TỔNG HỢP]

Đồ thị hàm số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình học môn Toán lớp 9 và THPT. Vậy đồ thị của hàm số là gì? Các dạng đồ thị của hàm số lớp 12? Các dạng đồ thị của hàm số bậc hai và bậc hai? Lý thuyết và bài tập về đồ thị của hàm số logarit?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé !.

Đồ thị hàm số là gì?

Đồ thị của một hàm số là sự biểu diễn trực quan sinh động các giá trị của hàm số trong hệ tọa độ Descartes.

Hệ tọa độ Descartes bao gồm các trục (2 ):

• Trục (Ox ) nằm ngang, đại diện cho giá trị của biến (x )
• Trục (Oy ) thẳng đứng, đại diện cho giá trị của hàm (f (x) )

Cách nhận biết đồ thị của hàm số

Các dạng đồ thị của các hàm cơ bản

Các dạng đồ thị của hàm số bậc nhất

Hàm bậc nhất là một hàm có dạng:

(y = ax + b )

Đồ thị của hàm số là một đường thẳng tạo một góc với trục hoành ( alpha ) thỏa mãn ( tan alpha = a )

• Trường hợp 1: (a> 0 )

• Trường hợp 2: (a <0 )

• Trường hợp 3: (a = 0 )

Đồ thị của hàm số song song hoặc trùng với trục hoành.

Các dạng đồ thị của hàm số bậc hai

Hàm bậc hai là một hàm có dạng:

(y = ax ^ 2 + bx + c ) với (a neq 0 )

• Trường hợp (a> 0 )

• Trường hợp (a <0 )

Các dạng đồ thị của 3 hàm số bậc hai

Hàm order (3 ) là một hàm có dạng:

(y = ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d ) với (a neq 0 )

Dưới đây là đồ thị của hàm số bậc hai cho từng trường hợp

• Trường hợp 1: Phương trình (y ‘= 0 ) có hai nghiệm phân biệt

Khi đó đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và có dạng như sau:

• Trường hợp 2: Phương trình (y ‘= 0 ) có nghiệm kép

Khi đó đồ thị của hàm số không có cực trị và tiếp tuyến tại điểm uốn song song với trục hoành.

• Trường hợp 3: Phương trình (y ‘= 0 ) không có nghiệm

Khi đó đồ thị của hàm số không có cực trị mà tiếp tuyến tại điểm uốn không song song với trục hoành.

Các dạng đồ thị của hàm số bậc hai là bậc hai

Hàm bình phương (4 ) là một hàm có dạng:

(y = ax ^ 4 + bx ^ 2 + c ) với (a neq 0 )

• Trường hợp 1: Phương trình (y ‘= 0 ) có (3 ) nghiệm phân biệt

Khi đó đồ thị hàm số có (3 ) điểm cực trị.

• Trường hợp 2: Phương trình (y ‘= 0 ) chỉ có nghiệm (1 )

Khi đó đồ thị hàm số có (1 ) các điểm cực trị và có dạng như đồ thị Parabol.

Đồ thị hàm số lôgarit

Hàm lôgarit là một hàm có dạng:

(y = log_ax ) với ( left { begin {matrix} a> 0 \ a neq 1 end {matrix} right. ) và (x> 0 )

Đồ thị của hàm số luôn nằm bên phải trục tung. Tùy thuộc vào giá trị của (a ), chúng ta có hai loại đồ thị.

Các dạng toán lớp 9. đồ thị hàm số

Toán đường thẳng với đoạn thẳng

Trong hệ tọa độ (Oxy ) cho hai đường (y = a_1x + b_1 ) và (y = a_2x + b_2 ). Khi đó vị trí tương đối của hai đường thẳng như sau:

• Hai đường thẳng song song: ( Leftrightarrow left { begin {matrix} a_1 = a_2 \ b_1 neq b2 end {matrix} right. )
• Hai dòng chồng lên nhau: ( Leftrightarrow left { begin {matrix} a_1 = a_2 \ b_1 = b2 end {matrix} right. )
• Hai đường cắt nhau: ( Mũi tên trái a_1 neq a_2 )

Khi đó tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sẽ là nghiệm của phương trình:

(a_1x + b_1 = a_2x + b_2 Left rightarrow x = frac {b_2-b_1} {a_1-a_2} )

Ví dụ:

Trong mặt phẳng (Oxy ) cho ba đường thẳng:

(a: y = 2x + 1 ); (b: y = -x +4 ); (c: y = mx -2 )

Tìm giá trị của (m ) để ba dòng trên đồng quy

Giải pháp:

Gọi (A ) là giao của hai đường (a ) và (b ). Khi đó tọa độ của (A ) là nghiệm của phương trình:

(2x + 1 = -x + 4 Mũi tên trái 3x = 3 Mũi tên trái x = 1 )

Vì vậy ( Rightarrow A (1; 3) )

Để ba đường thẳng đồng thời, đường thẳng (c ) phải đi qua điểm (A (1; 3) )

Thay vào đó, chúng tôi nhận được:

(3 = m-2 Mũi tên phải m = 5 )

Toán đường với Parabol

Trong chương trình toán lớp 9, chúng ta chỉ học về đồ thị của hàm số bậc (2 ) có dạng: (y = ax ^ 2 ). Đây là một hàm đối xứng qua trục tung và chỉ nằm về một phía của trục hoành.

Trong hệ tọa độ (Oxy ) cho đường thẳng (y = ax + b ) và Parabol (y = kx ^ 2 ). Khi đó vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng như sau:

• Đường thẳng cắt Parabol tại hai điểm phân biệt ( Leftrightarrow ) thì phương trình (kx ^ 2 = ax + b ) có hai nghiệm phân biệt.
• Đường tiếp tuyến với Parabol ( Leftrightarrow ) thì phương trình (kx ^ 2 = ax + b ) có một căn kép.
• Đường thẳng không cắt Parabol ( Leftrightarrow ) thì phương trình (kx ^ 2 = ax + b ) không có nghiệm.

Ví dụ:

Trong hệ tọa độ (Oxy ) cho đường thẳng (y = x + 6 ) và Parabol (y = x ^ 2 ). Tìm giao điểm của đường thẳng và Parabol

Giải pháp:

Giao điểm của đường thẳng và parabol là nghiệm của phương trình

(x ^ 2 = x + 6 Mũi tên trái x ^ 2-x-6 = 0 )

( Leftrightarrow (x-3) (x + 2) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=3 \ x=-2end{array}right.)

Thay vào ta được giao điểm của đường thẳng và Parabol là hai điểm ( (3;9) ; (-2;4) )

Các dạng toán đồ thị hàm số 12

Các dạng toán khảo sát đồ thị hàm số

Các bước chung để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( y= f(x) )

• Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số
  • Tìm tập hợp các giá trị thực của ( x ) để hàm số có nghĩa

• Bước 2. Sự biến thiên
  • Xét chiều biến thiên của hàm số
    • Tính đạo hàm ( y’ )
    • Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm ( y’=0 ) hoặc không xác định.
  • Xét dấu đạo hàm ( y’ ) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
  • Tìm cực trị
    • Tìm các điểm cực đại , cực tiểu ( nếu có ) của hàm số
  • Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn có kết quả là vô cực. Từ đó tìm các tiệm cận (nếu có) cùa hàm số
  • Lập bảng biến thiên
    • Thể hiện đầy đủ các phần 2a) 2b) 2c) trên bảng biến thiên.
• Bước 3. Đồ thị
  • Tìm tọa độ một số điểm thuộc đồ thị hàm số
    • Tọa độ giao của đồ thị hàm số với trục ( Ox ; Oy) (nếu có); các điểm cực trị (nếu có); điểm uốn (nếu có);… và một số điểm khác.
  • Vẽ đồ thị
    • Lưu ý đến tính đối xứng (đối xứng tâm, đối xứng trục) của đồ thị để vẽ cho chính xác và đẹp.
  • Nhận xét một số điểm đặc trưng của đồ thị: Tùy vào từng loại hàm số sẽ có những đặc điểm cần lưu ý riêng.

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( y= -x^3+3x^2-4 )

Cách giải:

Tập xác định : (D = mathbb{R})

Chiều biến thiên :

Ta có đạo hàm ( y’=-3x^2+6x )

(y’=0 Leftrightarrow 3x(x-2)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=0 \ x=2end{array}right.)

(lim_{xrightarrow + infty} y =-infty) ; (lim_{xrightarrow – infty} y = +infty)

Từ đó ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

• Hàm số đồng biến trên khoảng ( (0;2) ) và nghịch biến trên mỗi khoảng ((-infty; 0) ; (2;+infty))
• Hàm số đạt cực đại tại điểm ( x=2 ). Giá trị cực đại là ( y=0 )
• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm ( x=0 ). Giá trị cực đại là ( y=-4 )

Đồ thị:

Ta có: (y”=-6x+6) nên (y”=0Leftrightarrow x=1)

(Rightarrow I(1;-2)) là điểm uốn ( tâm đối xứng ) của đồ thị hàm số

Hàm số cắt trục hoành tại hai điểm ( (-1;0);(2;0) )

Hàm số cắt trục tung tại điểm ( (0;-4) )

Ta có đồ thị hàm số:

Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho ( (C) ) là đồ thị của hàm số ( y=f(x) ) và điểm ( M(x_0;y_0) ) nằm trên ( (C) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của ( (C) ) tại điểm ( M ) là :

( y=f’(x_0).(x-x_0) + f(x_0) )

Khi đó, ( f’(x_0) ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại ( M(x_0;y_0) )

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước tiếp điểm

Đây là dạng bài cơ bản, chúng ta áp dụng công thức phương trình tiếp tuyến là có thể giải được một cách nhanh chóng

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số ( y=x^3+2x^2 ) tại điểm ( M(1;3) )

Cách giải:

Đạo hàm ( y’= 3x^2 +4x )

Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến ta được phương trình tiếp tuyến :

( y=(3+4)(x-1)+3 Leftrightarrow y=7x-4 )

Dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước hệ số góc ( k )

Với dạng bài này, do hệ số góc ( k= f’(x_0) ) nên ta tìm được tiếp điểm ( (x_0;y_0) ) . Từ đó viết được phương trình tiếp tuyến.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y=frac{2x+1}{x+2}) và song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 )

Cách giải:

Đạo hàm (y’=frac{3}{(x+2)^2})

Gọi tiếp điểm là ( M(x_0;y_0) ). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 ) nên hệ số góc : (y'(x_0)=3)

(Leftrightarrow frac{3}{(x+2)^2} =3 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=-1\x=-3 end{array}right.)

Thay vào công thức ta được hai phương trình tiếp tuyến :

[Latex] y = 3x + 2 [/latex] và (y = 3x + 14 )

Dạng bài tự luận phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

• Bước 1: Gọi (M (x_0; y_0) là tiếp điểm, viết phương trình của tiếp tuyến với [latex] x; x_0) )
• Bước 2: Thay tọa độ của điểm đi qua vào phương trình trên, giải phương trình để tìm (x_0 )
• Bước 3: Viết phương trình của tiếp tuyến

Ví dụ:

Cho hàm số (y = -4x ^ 3 + 3x + 1 ). Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số đi qua điểm (A (-1; 2) )

Giải pháp:

Ta có: (y ‘= – 12x ^ 2 + 3 )

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị tại điểm ((x_0; y_0) )

Khi đó phương trình tiếp tuyến là:

(y = (- 12x_0 ^ 2 + 3) (x-x_0) -4x_0 ^ 3 + 3x_0 + 1 )

Vì tiếp tuyến đi qua (A (-1; 2) ), thay vào đó chúng ta nhận được:

(2 = (- 12x_0 ^ 2 + 3) (- 1-x_0) -4x_0 ^ 3 + 3x_0 + 1 )

( Mũi tên trái 8x_0 ^ 3 + 12x_0 ^ 2-4 = 0 )

( Leftrightarrow 4 (x_0 + 1) ^ 2 (2x_0-1) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x_0=-1\x_0=frac{1}{2}end{array}right)[begin{array}{l}x_0=-1x_0=frac{1}{2}end{array}right)[begin{array}{l}x_0=-1x_0=frac{1}{2}end{array}right)[begin{array}{l}x_0=-1x_0=frac{1}{2}end{array}right)

Thay vào đó, chúng ta nhận được hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán, (y = -9x + 7 ) và (y = 2 )

Dạng phương trình tiếp tuyến chứa tham số

Đối với các hàm chứa tham số, chúng ta thường sử dụng độ dốc (f ‘(x_0) )

Ví dụ:

Cho hàm số (x ^ 4-2 (m + 1) x ^ 2 + m + 2 ) và điểm (A (1; 1-m) ) là điểm trên đồ thị của hàm số. Tìm (m ) để tiếp tuyến tại (A ) của hàm số vuông góc với đường thẳng ( Delta x-4y + 1 = 0 )

Giải pháp:

Ta có đạo hàm: (y ‘= 4x ^ 3-4 (m + 1) x )

( Rightarrow ) độ dốc của tiếp tuyến là (y ‘(1) = -4m )

Chúng ta có (x-4y + 1 = 0 Leftrightarrow y = frac {x} {4} + frac {1} {4} )

Vì vậy, để một tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Delta ) thì hệ số góc của tiếp tuyến phải là (-4 )

( Rightarrow -4m = -4 ) hoặc (m = 1 )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết cũng như bài tập về chuyên đề đồ thị hàm số cũng như các dạng toán về đồ thị hàm số. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề đồ thị hàm số. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> Đường tiệm cận là gì? Làm thế nào để tìm các dấu không có dấu của đồ thị của một hàm số

Các khoa liên quan:

• đồ thị của hàm số mũ
• Đồ thị hàm số luyện thi đại học
• các dạng toán khảo sát đồ thị hàm số
• Các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số