Câu 96 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Câu 96 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. 
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
Gợi ý làm bài

a) Ta có: 
(HD bot AB Rightarrow widehat {ADH} = 90^circ )
(HE bot AC Rightarrow widehat {AEH} = 90^circ )
Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)
Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:
(eqalign{ & A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 cr & Rightarrow AH = 6,(cm) cr} )
Vậy DE = 6 (cm)
b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE
Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)
Suy ra tam giác GHD cân tại G
Ta có:
(widehat {GDH} = widehat {GHD},(1))
(widehat {GDH} + widehat {MDH} = 90^circ ,(2))
(widehat {GHD} + widehat {MHD} = 90^circ ,(3))
Từ (1), (2) và (3) suy ra: (widehat {MDH} = widehat {MHD},(4))
Suy ra tam giác MDH cân tại M ( Rightarrow MD = MH,(5))
Lại có: (widehat {MDH} + widehat {MDB} = 90^circ ,(6))
(widehat {MBD} + widehat {MHD} = 90^circ ) (∆BDH vuong tại D) (7)
Từ (4), (6) và (7) suy ra: (widehat {MDB} = widehat {MBD})
Suy ra tam giác MBD cân tại M ( Rightarrow MB = MD,(8))
 Từ (5) và (8) suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.
*Tam giác GHE cân tại G
Ta có: (widehat {GHE} = widehat {GEH},(9))
(widehat {GHE} + widehat {NHE} = 90^circ ) (10)
(widehat {GEH} + widehat {NEH} = 90^circ ) (11)
Từ (9), (10) và (11) suy ra: (widehat {NHE} = widehat {NEH}) (12)
Suy ra tam giác NEH cân tại n ( Rightarrow NE = NH) (13)
Lại có: (widehat {NEC} + widehat {NEH} = 90^circ ) (14)
(widehat {NHE} + widehat {NCE} = 90^circ ) (∆CEH vuông tại E) (15)
Từ (12), (14) và (15) suy ra: (widehat {NDC} = widehat {NCE})
Suy ra tam giác NCE cân tại N ( Rightarrow NC = NE,(16))
Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.

c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:
(DM = {1 over 2}BH = {1 over 2}.4 = 2,(cm))
Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên
(EN = {1 over 2}CH = {1 over 2}.9 = 4,5,(cm))
Mà (MD bot DE) và NE bot DE) nên MD // NE
Suy ra tứ giác DENM  là hình thang
Vậy 
(eqalign{ & {S_{DENM}} = {{DM + NE} over 2}.DE cr & = {{2 + 4,5} over 2}.6 = 19,5 cr} ) (cm2).