Câu 33 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Câu 33 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định và (widehat A = alpha ) không đổi. Tìm quỹ tích giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó.
Giải

Chứng minh thuận: Gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong của ∆ABC
(widehat {IBC} = {{widehat B} over 2};widehat {ICB} = {{widehat C} over 2})
( Rightarrow ) (widehat {IBC} + widehat {ICB} = {{widehat B + widehat C} over 2}) mà trong ∆ABC ta có: (widehat B + widehat C = 180^circ  – widehat A = 180^circ  – alpha )
Suy ra: (widehat {IBC} + widehat {ICB} = {{180^circ  – alpha } over 2})
Trong ∆BIC ta có: (widehat {BIC} = 180^circ  – (widehat {IBC} + widehat {ICB}))
Suy ra: (widehat {BIC} = 180^circ  – {{180^circ  – alpha } over 2} = {{360^circ  – 180^circ  + alpha } over 2} = 90^circ  + {alpha  over 2})
Α không đổi ( Rightarrow widehat {BIC} = 90^circ  + {alpha  over 2}) không đổi.
I thay đổi tạo với 2 đầu đoạn BC cố định một góc bằng 90º + ({alpha  over 2}) không đổi
Vậy I nằm trên cung chứa góc 90º + ({alpha  over 2}) vẽ trên BC.
Chứng minh đảo:  Trên cung chứa góc 90º + ({alpha  over 2}) lấy điểm I’ bất kỳ. Vẽ trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm I’ hai tai Bx và Cy sao cho BI’ là phân giác của (widehat {CBx},CI’) là phân giác của (widehat {BCy}).
Bx cắt Cy tại A¢.
Trong ∆BI¢C ta có: (widehat {BI’C} = 90 + {alpha  over 2})
( Rightarrow widehat {I’BC} + widehat {I’CB} = 180^circ  – widehat {BI’C} = 180^circ  – left( {90^circ  + {alpha  over 2}} right) = {{180^circ  – alpha } over 2})
(widehat {CBA’} = 2widehat {I’BC};widehat {BCA’} = 2widehat {I’CB})
( Rightarrow widehat {CBA’} + widehat {BCA’} = 2.{{180^circ  – alpha } over 2} = 180^circ  – alpha )
Trong ∆A¢BC ta có:
(widehat {BA’C} = 180^circ  – (widehat {CBA’} + widehat {BCA’}) = 180^circ  – (180^circ  – alpha ) = alpha )
Vậy quỹ tích giao điểm 3 đường phân giác trong ∆ABC khi (widehat A = alpha ) không đổi, BC cố định là 2 cung chứa góc (90^circ  + {alpha  over 2}) vẽ trên BC..