Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là gì? Lý thuyết và cách giải toán về tâm đường tròn nội tiếp tam giác? Cùng với nhau Tip.edu.vn Cùng tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây!

Lý thuyết tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Nói chung, tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Trong hình học, đường tròn nội tiếp của tam giác là đường tròn lớn nhất bên trong tam giác; nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác. Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác trong.

Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Phương pháp 1: Gọi D, E, F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC vẽ từ A, B, C. tương ứng

• Bước 1: Tính độ dài các cạnh của tam giác
• Bước 2: Tính tỷ lệ (k_ {1} = frac {AB} {AC}, k_ {2} = frac {BA} {BC}, k_ {3} = frac {CA} {CB} )
• Bước 3: Tìm tọa độ các điểm D, E, F
• Bước 4: Viết phương trình các đường thẳng AD, BE
• Baøi 5: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD và BE

Phương pháp 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I như sau:

( left { begin {matrix} x_ {I} = frac {BC.x_ {A} + CA.x_ {B} + AB.x_ {C}} {BC + CA + AB} \ y_ {I} = frac {BC.y_ {A} + CA.y_ {B} + AB.y_ {C}} {BC + AC + BC} end {matrix} right. )

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

Cho ABC là một tam giác

Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC, AC, AB. tương ứng

Đặt (p = frac {a + b + c} {2} ), chúng ta có bán kính của đường tròn ngoại tiếp:

(r = frac {2S} {a + b + c} = frac {S} {p} = (p – a) tan frac {A} {2} = (p – b) tan frac {B} {2} = (p – c) tan frac {C} {2} = sqrt { frac {(p – a) (p – b) (p – c)} {p}} )

Phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác

Cho ABC là một tam giác với (A (x_ {A}; y_ {A}), B (x_ {B}; y_ {B}), C (x_ {C}; y_ {C}) )

Phương pháp 1:

1. Viết phương trình đường phân giác của các góc A và B.
2. Tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên
3. Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác ta được bán kính
4. Viết phương trình của đường tròn

Phương pháp 2:

1. Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A
2. Tìm tọa độ chân đường phân giác ở đỉnh A
3. Đặt tôi là tâm của vòng tròn, tọa độ tôi thỏa mãn quan hệ ( underset {ID} { rightarrow} = – frac {BD} {BA} underset {IA} { rightarrow} )
4. Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác
5. Viết phương trình của đường tròn

Bài tập về đường tròn nội tiếp tam giác

Dạng 1: Tìm tâm đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A (1,5) B (–4; –5) và C (4; -1). Tìm tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Phần thưởng:

Chúng ta có (AB = 5 sqrt {5}, AC = 3 sqrt {5} BC = 4 sqrt {5} )

Vì vậy:

( left { begin {matrix} x_ {I} = frac {BC.x_ {A} + CA.x_ {B} + AB.x_ {C}} {BC + CA + AB} = frac {4 sqrt {5} .1 + 3 sqrt {5}. (- 4) +5 sqrt {5} .4} {4 sqrt {5} +3 sqrt {5} +5 sqrt { 5}} = 1 \ y_ {I} = frac {BC.y_ {A} + CA.y_ {B} + AB.y_ {C}} {BC + AC + BC} = frac {4 sqrt {5} .5 + 3 sqrt {5}. (- 5) +5 sqrt {5}. (- 1)} {4 sqrt {5} +3 sqrt {5} +5 sqrt {5 }} = 0 end {matrix} right. )

Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I (1,0)

Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A (2; 6), B (-3; -4), C (5; 0). Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Phần thưởng:

Chúng ta có, (AB = 5 sqrt {5}, AC = 3 sqrt {5}, BC = 4 sqrt {5} )

(p = frac {AB + AC + BC} {2} = frac {5 sqrt {5} + 3 sqrt {5} + 4 sqrt {5}} {2} = 6 sqrt {5 } )

Do đó, bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác (ABC ) là

(r = sqrt { frac {(p – a) (p – b) (p – c)} {p}} = sqrt { frac {(6 sqrt {5} – 5 sqrt {5 }) (6 sqrt {5} -3 sqrt {5}) (6 sqrt {5} -4 sqrt {5})} {6 sqrt {5}}} = sqrt {5} )

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (11; -7), B (23; 9), C (-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Phần thưởng:

Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y + 55 = 0

Phương trình đường phân giác của góc A: (7x + y-70 = 0 )

Gọi D là chân đường phân giác trong đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:

( left { begin {matrix} 7x + y-70 = 0 \ 7x-24y + 55 = 0 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x = frac {65} {7} \ y = 5 end {matrix} right. Rightarrow D left ( frac {65} {7}; 5 right) )

Gọi I (a, b) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Chúng ta có:

( underset {IA} { rightarrow} = (11-a; -7-b), underset {ID} { rightarrow} = ( frac {65} {7} -a; 5-b), BA = 20, BD = frac {100} {7} )

( underset {ID} { rightarrow} = – frac {BD} {BA} underset {IA} { rightarrow} Leftrightarrow left { begin {matrix} frac {65} {7} – a = – frac {5} {7} (11-a) \ 5-b = – frac {5} {7} (- 7-b) end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} a = 10 \ b = 0 end {matrix} right. )

Vậy tọa độ I (10,0)

Bán kính của đường tròn nội tiếp: (r = d (I, AB) = 5 )

Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC: ((x-10) ^ 2 + y ^ 2 = 25 )

Trên đây là lý thuyết và ví dụ về tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Hi vọng đã cung cấp cho các bạn những kiến ​​thức bổ ích cho quá trình nghiên cứu của bản thân. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

>>> Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác – Toán lớp 9