Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác – Toán học Lớp 9

Đường tròn ngoại tiếp của tam giác là gì? Lý thuyết và cách giải toán về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác? Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác? Cùng nhau Tip.edu.vn Cùng tìm hiểu về chủ đề này qua bài viết dưới đây!

Lý thuyết về đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Đại cương về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của tam giác đó. Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường phân giác vuông góc của tam giác ở đó

Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Phương pháp 1:

• Bước 1: Viết phương trình đường trung trực của hai cạnh bất kỳ trong tam giác.
• Bước 2: Tìm giao điểm của hai trực tâm này là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Phương pháp 2:

• Bước 1: Gọi (I (x; y) ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chúng ta có (IA = IB = IC = R )

• Bước 2: Tọa độ tâm I là nghiệm của hệ phương trình.

( left { begin {matrix} IA ^ 2 = IB ^ 2 \ IA ^ 2 = IC ^ 2 end {matrix} right. )

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC tại A nằm trên phố lớn AH

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là điểm giữa cạnh huyền

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Cho tam giác ABC

Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, AC, AB. S là diện tích tam giác ABC

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

(R = frac {abc} {4S} )

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với tọa độ của ba đỉnh.

• Bước 1: Thay tọa độ của mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a, b, c (Vì các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình của đường tròn ngoại tiếp cần tìm) Bước 2: Giải hệ phương trình tìm a, b, c
• Bước 2: Thay các giá trị a, b, c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.
• Bước 3: Vì (A, B, C epsilon (C) ) chúng ta có một hệ phương trình: ( left { begin {matrix} x_ {A} ^ {2} + y_ {A} ^ {2} – 2ax_ {A} – 2by_ {A} + c = 0 \ x_ {B} ^ {2} + y_ {B} ^ {2} – 2ax_ {B} – 2by_ {B} + c = 0 \ x_ {C} ^ {2} + y_ {C} ^ {2} – 2ax_ {C} – 2by_ {C} + c = 0 end {matrix} right. )
• => Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.
• Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình (C), ta có phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác

Dạng 1: Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh

Ví dụ: Cho ABC là tam giác với (A (1; 2), B (-1; 0), C (3; 2) ). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Dung dịch:

Gọi (I (x; y) ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

( underset {IA} { rightarrow} = (1-x; 2-y) Rightarrow IA = sqrt {(1-x) ^ 2 + (2-y) ^ 2} )

( underset {IB} { rightarrow} = (-1-x; -y) Rightarrow IB = sqrt {(1-x) ^ 2 + y ^ 2} )

( underset {IC} { rightarrow} = (3-x; 2-y) Rightarrow IC = sqrt {(3-x) ^ 2 + (2-y) ^ 2} )

Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên ta có:

(IA = IB = IC Leftrightarrow left { begin {matrix} IA ^ 2 = IB ^ 2 \ IA ^ 2 = IC ^ 2 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin { ma trận} (1-x) ^ 2 + (2-y) ^ 2 = (-1-x) ^ 2 + y ^ 2 \ (1-x) ^ 2 + (2-y) ^ 2 = (3 -x) ^ 2 + (2-y) ^ 2 end {matrix} right. )

( Leftrightarrow left { begin {matrix} x + y = 1 \ x = 2 end {matrix} right Leftrightarrow left { begin {matrix} x = 2 \ y = – 1 end {matrix} right. )

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là (I (2; -1) )

Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Ví dụ: tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Dung dịch:

Ta có: (p = frac {AB + AC + BC} {2} = frac {3 + 7 + 8} {2} = 9 )

Áp dụng công thức của Herong:

(S = sqrt {p (p-AB) (p-AC) (p-BC)} = sqrt {9 (9-3) (9-7) (9-8)} = 6 sqrt { 3} )

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

(R = frac {AB.AC.BC} {4S} = frac {3.7.8} {4.6 sqrt {3}} )

Dạng 3: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh

VĐ: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp các tam giác A, B, C biết A (-1; 2) B (6; 1) C (-2; 5)

Dung dịch:

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

((C) x ^ 2 + y ^ 2 -2ax -2by + c = 0 )

Vì A, B, C cùng thuộc một đường tròn nên ta có thể thay tọa độ của A, B, C vào phương trình đường tròn (C) để được hệ phương trình:

( left { begin {matrix} 2a-4b + c = -5 \ 12a + 2b-c = 37 \ 4a-10b + c = -29 end {matrix} right. Leftrightarrow left { begin {matrix} a = 3 \ b = 5 \ c = 9 end {matrix} right. )

Do đó, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I (3; 5) và bán kính R = 5 là:

(x ^ 2 + y ^ 2-6x-10y + 9 = 0 ) hoặc ((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 25 )

Trên đây là những kiến ​​thức liên quan đến chủ đề Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hi vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin hữu ích để các bạn tự nghiên cứu và tìm hiểu kiến ​​thức về đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> Cách xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác