Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

By Mắt Cận Last updated Th12 31, 2023

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 được tip.edu.vn đăng tải. Toán học luôn đòi hỏi chúng ta nhớ công thức để áp dụng vào việc giải toán, và trong số đó là công thức tính delta và delta phẩy, để tìm hiểu về cách tính delta và delta phẩy các em tham khảo tài liệu dưới đây gồm định nghĩa cũng như các bài tập ví dụ minh họa để các em luyện tập từ đó nắm công thức tính của nó. Mời các em cùng tham khảo nội dung dưới đây

Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn
3. Tại sao phải tìm ∆?
4. Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Tài liệu sẽ đưa ra công thức delta và delta phẩy cho các bạn học sinh, đồng thời cũng sẽ giải thích lý do chúng ta phải tính biệt thức delta này. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về phương trình bậc hai và cách vận dụng vào giải các bài Toán lớp 9 liên qua đến phương trình bậc hai này.

Thông thường đối với một học sinh lớp 9, khi được hỏi về cách tính phương trình bậc 2, các bạn học sinh sẽ trả lời là: “Ta sẽ đi tính $Δ$ , rồi từ đó phụ thuộc vào giá trị của Δ mà ta sẽ có các cách tính cụ thể cho từng nghiệm”. Vậy tại sao phải tính $Δ$ , đa phần các bạn học sinh sẽ không trả lời được, bởi vậy phần tài liệu dưới đây sẽ trả lời cho câu hỏi đó!

1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

ax² + bx + c = 0

Trong đó a ≠ 0, a, b là hệ số, c là hằng số.

2. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

Ta sử dụng một trong hai công thức nghiệm sau để giải phương trình bậc hai một ẩn:

+ Tính: ∆ = b² – 4ac

Nếu ∆ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b +sqrt{triangle}}{2a}; x_2=frac{-b -sqrt{triangle}}{2a}$

Nếu ∆ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=frac{-b}{2a}$

Nếu ∆ < 0 thì phương trìnhax² + bx + c = 0 vô nghiệm:

+ Tính : ∆’ = b’² – ac trong đó $b'=frac{b}{2}$ ( được gọi là công thức nghiệm thu gọn)

Nếu ∆’ > 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b' +sqrt{triangle'}}{a}; x_2=frac{-b -sqrt{triangle'}}{a}$

Nếu ∆‘ = 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép:

$x_1=x_2=frac{-b'}{a}$

Nếu ∆‘ < 0 thì phương trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm.

3. Tại sao phải tìm ∆?

Ta xét phương trình bậc 2:

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

⇔ a(x² + $frac{b}{a}$ x) + c = 0 (rút hệ số a làm nhân tử chung)

⇔ a[x² +2. $frac{b}{{2a}}$ .x + ${left( {frac{b}{{2a}}} right)^2}$ – ${left( {frac{b}{{2a}}} right)^2}$ ]+ c = 0 (thêm bớt các hệ số để xuất hiện hằng đẳng thức)

$⇔ aleft(x+frac{b}{2a}right)^2 -frac{b^2}{4a}+c=0$ (biến đổi hằng đẳng thức)

$Leftrightarrow a left ( x + frac{b}{2a} right )^2= frac{b^2}{4a}-c$ (chuyển vế)

$Leftrightarrow a left ( x + frac{b}{2a} right )^2= frac{b^2-4ac}{4a}$ (quy đồng mẫu thức)

$Leftrightarrow 4a^2.left ( x + frac{b}{2a} right )^2 = b^2-4ac$ (1) (nhân chéo do a ≠ 0)

Vế phải của phương trình (1) chính là $triangle$ mà chúng ta vẫn hay tính khi giải phương trình bậc hai. Vì 4a²> 0 với mọi a ≠ 0 và $left ( x+frac{b}{2a}right ) ^2 ge 0$ nên vế trái luôn dương. Do đó chúng ta mới phải biện luận nghiệm của b² – 4ac.

Biện luận nghiệm của biểu thức

+ Với b² – 4ac < 0, vì vế trái của phương trình (1) lớn hơn bằng 0, vế phải của phương trình (1) nhỏ hơn 0 nên phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với b² – 4ac = 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2left ( x+frac{b}{2a} right )^2=0 Leftrightarrow x=-frac{b}{2a}$

Phương trình đã cho có nghiệm kép $x_1=x_2=-frac{b}{2a}$ .

+ Với b² – 4ac > 0, phương trình trên trở thành:

$4a^2left ( x+frac{b}{2a} right ) ^2= b^2-4ac$

$Leftrightarrow {left[ {2aleft( {x + frac{b}{{2a}}} right)} right]^2} = {b^2} - 4ac Leftrightarrow left[ begin{array}{l} 2aleft( {x + frac{b}{{2a}}} right) = sqrt {{b^2} - 4ac} \ 2aleft( {x + frac{b}{{2a}}} right) = - sqrt {{b^2} - 4ac} end{array} right.$

$Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x + frac{b}{{2a}} = frac{{sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\ x + frac{b}{{2a}} = - frac{{sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l} x = frac{{ - b + sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\ x = frac{{ - b - sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} end{array} right.$

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

$x_1 = frac{{ - b + sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ và $x_2 = frac{{ - b - sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$

Trên đây là toàn bộ cách chứng minh công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nhận thấy rằng b² – 4ac là mấu chốt của việc xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. Nên các nhà toán học đã đặt ∆ = b² – 4ac nhằm giúp việc xét điều kiện có nghiệm trở nên dễ dàng hơn, đồng thời giảm thiểu việc sai sót khi tính toán nghiệm của phương trình.

4. Một số ví dụ giải phương trình bậc hai

Giải các phương trình sau:

$a) 2{x^2} - 4 = 0$

+ Nhận xét: $a = 2,b = 0,c = - 4$

+ Ta có: $Delta = {b^2} - 4ac = 0 - 4.2.( - 4) = 32 > 0$

$b) {x^2} + 4x = 0$

+ Nhận xét: $a = 1,b = 4,c = 0$

+ Ta có: $Delta = {b^2} - 4ac = 16 - 4.1.0 = 16 > 0$

$c) {x^2} - 5x + 4 = 0$

+ Nhận xét: $a = 1,b = - 5,c = 4$

+ Ta có: $Delta = {b^2} - 4ac = 25 - 4.1.4 = 9 > 0$

5. Các dạng bài tập sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Bài 1: Giải các phương trình dưới đây:

a, x² – 5x + 4 = 0	b, 6x² + x + 5 = 0
c, 16x² – 40x + 25 = 0	d, x² – 10x + 21 = 0
e, x² – 2x – 8 = 0	f, 4x² – 5x + 1 = 0
g, x² + 3x + 16 = 0	h, 2x² + 2x + 1 = 0

Nhận xét: đây là dạng toán điển hình trong chuỗi bài tập liên quan đến phương trình bậc hai, sử dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để giải các phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x² – 5x + 4 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4.1.4 = 25 – 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b+sqrt{Delta}}{2a}=frac{5+3}{2}=4$ và $x_2=frac{-b-sqrt{Delta}}{2a}=frac{5-3}{2}=1$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {1; 4}

b, 6x² + x + 5 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 1² – 4.6.5 = 1 – 120 = – 119 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c, 16x² – 40x + 25 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (-20)² – 16.25 = 400 – 400 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm kép: $x_1=x_2=frac{-b'}{a}=frac{20}{16}=frac{5}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=left { frac{5}{4} right }$

d, x² – 10x + 21 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (-5)² – 1.21 = 25 – 21 = 4 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b'+sqrt{Delta'}}{a}=frac{-5+2}{1}=-3$ và $x_2=frac{-b'-sqrt{Delta'}}{a}=frac{-5-2}{1}=-7$

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {-7; -3}

e, x² – 2x – 8 = 0

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆’ = b’² – ac = (-1)² – 1.(-8) = 1 + 8 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=frac{-b'+sqrt{Delta'}}{a} =frac{1+3}{1}=4$ và $x_2=frac{-b'-sqrt{Delta'}}{a}=frac{1-3}{1}=-2$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-2; 4}

f, 4x² – 5x + 1 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (-5)² – 4.4.1 = 25 – 16 = 9 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_1=1$ và $x_2=frac{1}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=left { frac{1}{4};1 right }$

g, x² + 3x + 16 = 0

(Học sinh tính được ∆ và nhận thấy ∆ < 0 nên phương trình đã cho vô nghiệm)

Ta có: ∆ = b² – 4ac = 3² – 4.1.16 = 9 – 64 = -55 < 0

Phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

h, $2x^2+2x+1=0$

(Học sinh tính được ∆ hoặc tính công thức nghiệm thu gọn ∆’ và nhận thấy ∆’ < 0 nên phương trình đã cho có vô nghiệm)

Ta có: $Delta = {b'^2} - 4ac = {1^2} - 4.2.1 = 1 - 8 = - 7 < 0$

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Cho phương trình $x^2-6x+m^2-4m=0$ (1)

a, Tìm m để phương trình có nghiệm x = 1

b, Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nhận xét: đây là một dạng toán giúp các bạn học sinh ôn tập được kiến thức về cách tính công thức nghiệm của phương trình bậc hai cũng như ghi nhớ được các trường hợp nghiệm của phương trình bậc hai.

Lời giải:

a, x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Suy ra thay x = 1 vào phương trình (1) có:

$1^2-6.1+m^2-4m=0 Leftrightarrow m^2-4m-5=0$ (2)

Xét phương trình (2)

Có $Delta'=b'^2-ac=(-2)^2-1.(-5)=9>0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt $m_1=5$ và $m_2=-1$

Vậy với m = 5 hoặc m = -1 thì x = 1 là nghiệm của phương trình (1)

b, Xét phương trình (1) có:

$Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi $Delta'=0$

$Leftrightarrow -m^2+4m+9=0$ (2)

Sử dụng công thức nghiệm để giải phương trình (2) có $m=2pm sqrt{13}$

Vậy với $m=2pmsqrt{13}$ thì phương trình (1) có nghiệm kép

c, Xét phương trình (1) có:

$Delta'=b'^2-ac=(-3)^2-1.(m^2-4m)=-m^2+4m+9$

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $Delta'>0$

$Leftrightarrow -m^2+4m+9>0$

$Leftrightarrow 2-sqrt{13} < m <2+ sqrt{13}$

Vậy với $2-sqrt{13} < m <2+ sqrt{13}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

Bài 3: Xác định a, b’, c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0;$

$b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0;$

Lời giải:

$a) 4{x^2} + 4x + 1 = 0$

Ta có: $a = 4, b' = 2, c = 1$

Suy ra $Delta' = {2^2} - 4.1 = 0$

Do đó phương trình có nghiệm kép:

${x_1} = {x_2} = dfrac{ - 2}{4} = - dfrac{1 }{ 2}.$

$b) 13852{x^2} - 14x + 1 = 0$

Ta có: $a = 13852, b' = - 7, c = 1$

Suy ra $Delta' = {( - 7)^2} - 13852.1 = - 13803 < 0$

Do đó phương trình vô nghiệm.

——————–

Ngoài ra, Tip.edu.vn đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 được tip.edu.vn chia sẻ trên đây. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các em nắm chắc công thức tính delta và delta phẩy để áp dụng tốt vào giải bài tập. Chúc các em học tốt, dưới đây là một số Các dạng Toán thi vào 10 các em tham khảo nhé

Bộ đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2020
Chuyên đề Phương trình bậc hai chứa tham số Toán 9 (Có đáp án)
Chuyên đề Tứ giác nội tiếp Toán 9 (Có đáp án)
Tổng hợp các dạng Toán ôn thi vào 10 – Phần 1: Đại số

hay tham khảo thêm các Bộ đề thi thử vào lớp 10 qua các năm được tip.edu.vn tổng hợp, như:

40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc
21 Đề thi vào lớp 10 môn Toán
Bộ đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán

——————-

Ngoài Công thức tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2. Các em có thể tham khảo thêm các bài Toán lớp 9 hoặc tìm hiểu thêm các môn Văn, Hóa, Tiếng Anh…đều có trong Tài liệu học tập lớp 9. Việc rèn ôn tập chuẩn bị cho kì thi sắp tới cũng là điều mà nhiều em học sinh quan tâm, để lấy đề thi của các môn các em truy cập Đề thi giữa kì 1 lớp 9 để lấy tài liệu nhé

	Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của tip.edu.vn
Hỏi – Đáp	Truy cập ngay: Hỏi – Đáp học tập

▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Rate this post