Cách tìm ước chung lớn nhất (UCLN) và bài tập có lời giải từ A – Z

Bạn có bài tập tìm ước chung lớn nhất nhưng chưa biết cách tìm ước chung lớn nhất? Sau đây, TRƯỜNG THPT CHUYÊN LAM SƠN sẽ chia sẻ định nghĩa Ước số chung lớn nhất là gì?, ước chung lớn nhất và cách tìm ước số chung lớn nhất Kèm theo đó là các bài tập có lời giải cho các bạn tham khảo

Ước số chung lớn nhất là gì?

Ước chung lớn nhất (GCC) của hai hoặc nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Dấu hiệu:

Ước chung lớn nhất của một₀Một_{đầu tiên}Một₂… Một_n được ký hiệu là UCLN (a₀Một_{đầu tiên}Một₂… Một_n) hoặc (a₀Một_{đầu tiên}Một₂… Một_n).

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của 27 và 45?

Chúng ta có:

Các ước của 27 là {1,3,9,27}

Các ước của 45 là {1,3,5,9,15,45}

Các số trong cả hai danh sách được gọi là ước chung của 27 và 45: {1,3,9}

Trong đó số lớn nhất là 9. Vậy 9 là ước chung lớn nhất của 27 và 45. Viết ƯCLN (27,45) = 9

Tính chất của ước số chung lớn nhất

• Tất cả các ước chung của các số đều là ước của GCC của các số đó.
  ƯCLN (a, 0) = | a |, với a ≠ 0 bất kỳ, vì bất kỳ số nào khác 0 đều là ước của 0 và ước lớn nhất của a là | a |. Đây là trường hợp cơ sở trong thuật toán Euclide.
• Nếu a là ước của tích bc và GCLN (a, b) = d thì a / d là ước của c.
• Nếu m là số nguyên dương thì ƯCLN (ma₀con ma_{đầu tiên}con ma₂,…con ma_n) = m.UCLN (a₀Một_{đầu tiên}Một₂… Một_n).
• Nếu m là số nguyên bất kỳ thì GCCLN (a + mb, b) = GCCLN (a, b). Nếu m là ước chung (khác không) của a và b thì ƯCLN (a / m, b / m) = ƯCLN (a, b) / m.
• GCLN là một hàm nhân theo nghĩa sau: nếu các số a_{đầu tiên}Một₂…,Một_n là các số đồng nguyên tố, thì
• UCLN (a_{đầu tiên}.Một₂….Một_nb) = ƯCLN (a_{đầu tiên}b) · CCLN (a₂b) ·… GCLN (a_nb).
• GCC là một hàm giao hoán: GCCLN (a, b) = GCCLN (b, a).
• GCC là một hàm kết hợp: GCCLN (a, b, c) = GCC (a, GCC (b, c)) = GCCLN (a, b), c).
• Trong Hệ tọa độ Descartes, UCLN (a, b) đại diện cho số điểm có tọa độ nguyên trên đoạn thẳng nối các điểm (0, 0) và (a, b), trừ đi điểm (0, 0).

Tìm hiểu thêm:

Làm thế nào để tìm ước số chung lớn nhất?

Phương pháp 1: Liệt kê các ước chung của các số rồi chọn GCC

Phương pháp: Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta tìm tập hợp các ước của mỗi số đó. Sau đó chọn ước số chung lớn nhất.

Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên 16 và 30.

Đầu tiên chúng ta tìm tập hợp các ước của 16 và 30.

Ư (15) = {1, 2, 4, 8, 16}

Ư (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Vậy GCC (16,30) = 2

Ví dụ 2:

a) Tìm ƯCLN (199, 1);

b) Tìm ƯCLN (6, 18).

Câu trả lời

a) GCC (199) = 1

b) Vì 18 ⋮ 6 nên GCC (6, 18) = 6.

Cách 2: Tìm ƯCLN bằng cách tính thừa số nguyên tố.

Phương pháp: Để tìm ước chung lớn nhất (GCC) của hai hoặc nhiều số lớn hơn 1, chúng ta thực hiện ba bước sau:

• Bước 1: Quy từng số thành thừa số nguyên tố.
• Bước 2: Chọn ra thừa số nguyên tố chung.
• Bước 3: Tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Sản phẩm đó là GCLN cần tìm.

Ghi chú:

a) Nếu các số đã cho không có thừa số chung thì ƯCLN của chúng là 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là đồng nguyên tố.
b) Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho là số nhỏ nhất đó.

Ví dụ 1: Tìm CCLN (45, 150)

Phần thưởng

Bước 1: Chia 45 và 150 thành các thừa số nguyên tố.

• 45 = 3² . 5
• 150 = 2. 3. 5²

Bước 2: Chọn ra thừa số nguyên tố chung, đó là: 3 và 5.

Bước 3: Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1. Số mũ nhỏ nhất của 5 là 1.

Vậy: GCLN (45, 150) = 3. 5 = 15

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN (24, 25)

Câu trả lời

Tính các thừa số 24 và 25 thành các thừa số nguyên tố:

Vậy 24 và 25 không có thừa số nguyên tố chung.

Do đó, GCC (24, 25) = 1

Phương pháp 3: Tìm LCC dựa trên bội số chung nhỏ nhất (BCNN)

Phương pháp: Ước chung lớn nhất của a và b có thể được tính bằng cách chia tích của a và b cho bội chung nhỏ nhất (BCNN) của a và b. (điều kiện a, b không phải 0)

Ví dụ: Tìm ƯCLN (12, 30)

B (12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60,…}

B (30) = {0, 30, 60,…}

Ta có: BCNN (12,30) = 60

Vậy GCC (12,30) = 12,30: 60 = 6

Bài tập về ước số chung lớn nhất có lời giải

Dạng 1: Tìm ước chung lớn nhất của các số đã cho

Phương pháp: Thực hiện quy tắc ba bước để tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ 1: Tìm ƯCLN của:

a) 16, 80, 176

b) 18, 30, 77.

Phần thưởng:

a) 16 = 2⁴

80 = 5,2⁴

176 = 11,2⁴

Hệ số chung là 2⁴ = 16 Đây là ƯCLN của 3 số đã cho.

b) 18 = 2,3²

30 = 2.3,5

77 = 11,7

Nhân tử chung là 1 -> Đây cũng là ƯCLN cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN rồi tìm ước chung của: 16 và 24

Phần thưởng:

a) 16 = 2⁴

24 = 3,2³

-> ƯCLN (16,24) = 23 = 8.

Các ước chung của 16 và 24 cũng giống như ước của 8. Đó là: 1; 2; 4; số 8.

Dạng 2: Bài toán về tìm ƯCLN của hai hay nhiều số

Phương pháp: Phân tích đề, suy ra tìm ƯCLN của hai hay nhiều số.

Ví dụ: Tìm số tự nhiên lớn nhất a biết 420 chia hết cho a và 700 chia hết cho a.

Phần thưởng:

Theo đề bài a phải là ƯCLN (420.700) mà ƯCLN (420, 700) = 140. Vậy a = 140.

Dạng 3: Tìm ước chung của hai hay nhiều số thoả mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

• Tìm ƯCLN của hai hay nhiều số đã cho;
• Tìm các ước của ƯCLN này;
• Chọn trong số chúng những ước số thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ví dụ: Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.

Hướng dẫn giải pháp:

ƯCLN (144, 192) = 48.

Số chia của 48 = {1; 2; 3; 4; Số 6; số 8; thứ mười hai; 24; 48}

Các ước của 48 lớn hơn 20 là 24 và 48.

Vậy ước lớn hơn 20 ước chung của 144 và 192 là 24 và 48.

Ví dụ 2: Mai và Lan mỗi bạn mua cho tổ mình một số hộp bút màu. Mai mua 28 cái bút, Lan mua 36 cái bút. Số bút trong các hộp bút bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2 cái.

a) Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Tìm mối quan hệ giữa số a và mỗi số 28, 36, 2.

b) Tìm số a trên.

c) Mai đã mua bao nhiêu hộp bút màu? Lan đã mua bao nhiêu hộp bút màu?

Trả lời

a) a là ước của 28, a là ước của 36, ​​a> 2.

b) a ∈ ƯCC (28, 36) và a> 2. Từ đó ta tìm được a = 4,0

c) Mai mua 7 hộp bút, Lan mua 9 hộp bút.

Hi vọng sau khi đọc bài viết của chúng tôi, các bạn có thể nhớ được định nghĩa, các tính chất và cách tìm ước chung lớn nhất để áp dụng vào giải bài tập.