Bài toán cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số và Các dạng bài tập

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số là dạng toán thường gặp trong các bài toán về hàm số trong kì thi THPT Quốc gia. Vậy định nghĩa tiếp tuyến của đồ thị hàm số là gì? Khái niệm về phương trình tiếp tuyến? Các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và các dạng bài tập điển hình? Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Định nghĩa của một tiếp tuyến với một đồ thị của một hàm số là gì?

Gọi ((C) ) là đồ thị của hàm (y = f (x) ) và điểm (M (x_0; y_0) ) trên ((C) ). Khi đó phương trình của tiếp tuyến với ((C) ) tại điểm (M ) là:

(y = f ‘(x_0). (x-x_0) + f (x_0) )

Khi đó, (f ‘(x_0) ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại (M (x_0; y_0) )

Cách tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Trong các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để tìm tiếp tuyến, điều quan trọng là phải tìm tiếp điểm hoặc giá trị (x_0 ) trong công thức trên.

Ví dụ:

Cho hàm số (y = x ^ 4-2x ^ 2 ) và điểm (M (x_0; y_0) ) trên đồ thị của hàm số. Biết rằng (y ” (x_0) = 8 ). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại điểm (M )

Giải pháp:

Chúng ta có:

(y ‘= 4x ^ 3-4x Mũi tên trái y ”= 12x ^ 2-4 )

Vì vậy (y ”(x_0) = 8 Mũi tên trái 12x_0 ^ 2-4 = 8 Mũi tên trái phải trái[begin{array}{l} x_0=1\ x_0=-1end{array}right.)

Nếu ( x_0 =1 ) thì ta có phương trình tiếp tuyến là :

(y= y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)=-1)

Tương tự, nếu ( x_0=-1 ) thì phương trình tiếp tuyến là :

( y=-1 )

Vậy phương trình tiếp tuyến tại ( M ) là ( y=-1 )

Các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước tiếp điểm

Đây là dạng bài cơ bản và hay gặp, chúng ta thay hoành độ của tiếp điểm vào công thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số là có thể viết được phương trình tiếp tuyến một cách nhanh chóng.

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số ( y=x^3+2x^2 ) tại điểm ( M(1;3) )

Cách giải:

Cách 1: Đạo hàm ( y’= 3x^2 +4x )

Thay vào công thức phương trình tiếp tuyến ta được phương trình tiếp tuyến :

( y=(3+4)(x-1)+3 Leftrightarrow y=7x-4 )

Cách 2: 

Viết phương trình tiếp tuyến khi đã biết trước hệ số góc ( k )

• Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k chính là dạng bài viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số khi biết phương. 
• Với dạng bài này, do hệ số góc ( k= f’(x_0) ) nên ta tìm được tiếp điểm ( (x_0;y_0) ) . Từ đó quy về dạng bài viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm.

***Chú ý: Cho đường thẳng ( Delta : y=ax+b ), khi đó:

• Đường thẳng song song với ( Delta ) có hệ số góc là ( a )
• Đường thẳng vuông góc với ( Delta ) có hệ số góc là (frac{-1}{a})

Ví dụ:

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (y=frac{2x+1}{x+2}) và song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 )

Cách giải:

Đạo hàm (y’=frac{3}{(x+2)^2})

Gọi tiếp điểm là ( M(x_0;y_0) ). Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+3 ) nên hệ số góc : (y'(x_0)=3)

(Leftrightarrow frac{3}{(x+2)^2} =3 Leftrightarrow left[begin{array}{l} x=-1\x=-3 end{array}right.)

Thay vào công thức ta được hai phương trình tiếp tuyến :

[Latex] y = 3x + 2 [/latex] và (y = 3x + 14 )

Viết phương trình của tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

• Bước 1: Gọi (M (x_0; y_0) là tiếp điểm, viết phương trình của tiếp tuyến với [latex] x; x_0) )
• Bước 2: Thay tọa độ của điểm đi qua vào phương trình trên, giải phương trình để tìm (x_0 )
• Bước 3: Viết phương trình của đường tiếp tuyến.

Ví dụ:

Cho hàm số (y = -4x ^ 3 + 3x + 1 ). Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số đi qua điểm (A (-1; 2) )

Giải pháp:

Ta có: (y ‘= – 12x ^ 2 + 3 )

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị tại điểm ((x_0; y_0) )

Khi đó phương trình tiếp tuyến là:

(y = (- 12x_0 ^ 2 + 3) (x-x_0) -4x_0 ^ 3 + 3x_0 + 1 )

Vì tiếp tuyến đi qua (A (-1; 2) ), thay vào đó chúng ta nhận được:

(2 = (- 12x_0 ^ 2 + 3) (- 1-x_0) -4x_0 ^ 3 + 3x_0 + 1 )

( Mũi tên trái 8x_0 ^ 3 + 12x_0 ^ 2-4 = 0 )

( Leftrightarrow 4 (x_0 + 1) ^ 2 (2x_0-1) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x_0=-1 \ x_0=frac{1}{2}end{array}right.)

Thay vào ta được hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là ( y=-9x+7 ) và ( y=2 )

Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số chứa tham số

Dạng bài chung là tìm điều kiện của tham số ( m ) để phương trình tiếp tuyến của đồ thị thỏa mãn một điều kiện cho trước.

Với dạng bài này thì ta thường sử dụng đến hệ số góc ( f’(x_0) ) để có thể tìm điều kiện của tham số.

Ví dụ:

Cho hàm số ( x^4-2(m+1)x^2+m+2 ) và điểm ( A (1;1-m) ) là điểm thuộc đồ thị hàm số. Tìm ( m ) để tiếp tuyến tại ( A ) của hàm số vuông góc với đường thẳng (Delta x-4y+1 =0)

Cách giải:

Ta có đạo hàm : ( y’ = 4x^3-4(m+1)x )

(Rightarrow) hệ số góc của tiếp tuyến là ( y’(1) = -4m )

Ta có ( x-4y+1 =0 Leftrightarrow y=frac{x}{4}+frac{1}{4} )

Vậy để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( Delta ) thì hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng ( -4 )

(Rightarrow -4m=-4) hay ( m=1 )

Một số bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Sau đây là một số bài toán tiếp tuyến đồ thị hàm số để các bạn tự luyện tập và làm bài. 

Bài 1:

Cho đồ thị hàm số (y=frac{2x+1}{x+2}). Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết nó song song với đường thẳng ( Delta : y=3x+2 )

Đáp số: ( y=3x+14 )

Bài 2:

Viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số ( y=-4x^3+3x+1 ) và đi qua điểm ( M(-1;2) )

Đáp số : ( y=-9x-7 ) và ( y=2 )

Bài 3:

Tìm giá trị của tham số ( m ) để đồ thị hàm số (y=frac{2x+3}{x+1}) cắt đường thẳng ( y=2x+m ) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm đó song song với nhau

Đáp số : ( m=2 ) hoặc ( m= -2 ) 

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề tiếp tuyến. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm:

• Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải 
• Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng toán

Tu khoa lien quan: 

• tiếp tuyến đồ thị hàm số lớp 11
• pt tiếp tuyến đồ thị hàm số
• phương trình tiếp tuyến lớp 10
• cách tích hệ số góc k của tiếp tuyến
• phương trình tiếp tuyến đạo hàm lớp 11
• chuyên đề tiếp tuyến đồ thị hàm số 12
• tìm hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số
• bài tập viết phương trình tiếp tuyến có lời giải
• viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm lớp 10

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

https://www.youtube.com/watch?v=dhg0AzsyHzs
(Nguồn: www.youtube.com)