Bài 31 trang 23 sgk Toán 9 tập 2

Bài 31 trang 23 sgk Toán 9 tập 2

31. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2
Bài giải:
Gọi (x) (cm), (y) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện (x > 0, y > 0).
Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm2 nên ta được:
(frac{(x + 3)(y + 3)}{2}= frac{xy}{2} + 36)
Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm2 nên ta được:
(frac{(x – 2)(y- 4)}{2} = frac{xy}{2} – 26)
Ta có hệ phương trình (left{begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \ (x -2)(y – 4)= xy -52 & & end{matrix}right.)
(eqalign{ & Leftrightarrow left{ matrix{ xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 hfill cr xy – 4x – 2y + 8 = xy – 52 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left{ matrix{ 3x + 3y = 63 hfill cr 4x + 2y = 60 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left{ matrix{ 6x + 6y = 126 hfill cr 12x + 6y = 180 hfill cr} right. cr & Leftrightarrow left{ matrix{ – 6x = – 54 hfill cr 6x + 6y = 126 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 9 hfill cr y = 12 hfill cr} right. cr} )
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm.