Chuyên đề cách tính thể tích – Các công thức tính thể tích tứ diện

Thể tích là một dạng toán cơ bản trong chương trình Toán THCS cũng như THPT. Vậy thể tích là gì? Các công thức tính thể tích tứ diện? Hay những công thức tính thể tích tứ diện trong oxyz?… Trong nội dung của bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức chi tiết về chủ đề cách tính thể tích, cùng tìm hiểu nhé!

Định nghĩa thể tích là gì?

Thể tích của một vật theo định nghĩa chính là lượng không gian mà một vật đó chiếm. Đơn vị của thể tích là ( m^3 ) (lập phương của khoảng cách).

Cách tính thể tích hình chóp

Cách tính thể tích khối chóp

Công thức tính thể tích hình chóp : (V= frac{1}{3}.S.h)

Trong đó ( S ) chính là diện tích mặt đáy, còn ( h ) là chiều cao từ đỉnh đến mặt đáy hình chóp.

Từ công thức trên, tùy vào hình dạng đáy của hình chóp mà ta có các công thức khác nhau.

Xem chi tiết >>> Công thức tính thể tích khối chóp: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Thể tích hình chóp tam giác

(V= frac{1}{3}.frac{a.b}{2}.h)

Trong đó ( a,b ) lần lượt là độ dài cạnh đáy và đường cao của tam giác đáy

Thể tích hình chóp thang

(V= frac{1}{3}.frac{(a+b)c}{2}.h)

Trong đó ( a,b ) là độ dài hai đáy hình thang, ( c ) là chiều cao của hình thang.

Thể tích hình chóp chữ nhật

(V= frac{1}{3}.a.b.h)

Trong đó ( a,b ) là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật.

Ví dụ:

Tính thể tích hình chóp ( S.ABC ) biết rằng hình chóp có độ dài tất cả cách cạnh đều là ( a )

Cách giải:

Lấy ( M ) là trung điểm ( BC )

Do ( Delta ABC [latex] có [latex] AB=BC=CA =a ) nên (Rightarrow Delta ABC) đều.

Lấy ( O ) là tâm tam giác (Rightarrow SO bot (ABC)) và ( O in AM ) sao cho ( AO = 2 MO )

Theo định lý Pitago, ta có:

(AM = sqrt{AB^2-BM^2}=frac{asqrt{3}}{2})

Do ( Delta ABC ) đều nên ( AM ) vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác

(Rightarrow S_{Delta ABC}=frac{1}{2}.a.frac{asqrt{3}}{2}=frac{a^2sqrt{3}}{4})

Mặt khác : (AO =frac{2}{3}AM=frac{a}{sqrt{3}})

(Rightarrow SO =sqrt{SA^2-AO^2}=frac{asqrt{2}}{sqrt{3}})

Như vậy ta có: (V_{S.ABC}=frac{1}{3}.frac{a^2sqrt{3}}{4}.frac{asqrt{2}}{sqrt{3}}=frac{a^3}{6sqrt{2}})

***Chú ý: Ta có công thức tính độ dài đường cao của tam giác đều cạnh ( a )

Đường cao (=frac{sqrt{3}a}{2})

Từ đó (Rightarrow) diện tích tam giác đều cạnh ( a ) là : (frac{sqrt{3}a^2}{4})

Cách tính thể tích hình chóp cụt

Hình chóp cụt là phần chóp nằm giữa đáy và thiết dện cắt bởi mặt phẳng song song với đáy hình chóp

Thể tích hình chóp cụt: (V=frac{1}{3}.h.(S_1+S_2+sqrt{S_1.S_2}))

Trong đó ( h ) là khoảng cách giữa hai mặt đáy còn ( S_1,S_2 ) lần lượt là diện tích hai mặt đáy.

Ví dụ:

Cho hình chóp cụt ( ABC.A’B’C’ ) có [/latex] ABC [/latex] là tam giác đều cạnh bằng ( a ) và ( A’B’C’ ) là tam giác đều cạnh bằng ( 2a ). Biết khoảng cách hai đáy là ( a ) , tính thể tích khối chóp cụt.

Cách giải:

Vì hai đáy của hình chóp cụt là tam giác đều nên ta có :

(S_{ABC}=frac{1}{2}.a.frac{asqrt{3}}{2}=frac{a^2sqrt{3}}{4})

(S_{A’B’C’}=frac{1}{2}.2a.frac{2asqrt{3}}{2}=a^2sqrt{3})

Thay vào công thức trên ta được:

(V=frac{1}{3}.a.(frac{a^2sqrt{3}}{4}+a^2sqrt{3}+sqrt{frac{a^2sqrt{3}}{4}.a^2sqrt{3}} ;; )=frac{7a^3}{4sqrt{3}})

Cách tính thể tích hình nón

Hình nón là một dạng đặc biệt của hình chóp với đáy là hình tròn. Do đó công thức tính thể tích hình nón vẫn tương tự như công thức tính thể tích hình tròn, cụ thể như sau: 

Thể tích hình nón : (V= frac{1}{3}.pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính đáy, ( h ) là chiều cao của hình chóp

Thể tích hình nón cụt : (V=frac{1}{3}.pi .h.(R_1^2+R_2^2+R_1R_2))

Trong đó ( h ) là khoảng cách giữa hai mặt đáy còn ( R_1;R_2 ) lần lượt là bán kính hai đáy

Ví dụ:

Cho hình nón có độ dài đường sinh là ( 2a ) và bán kính đáy là ( a ). Tính thể tích khối nón?.

Cách giải:

Gọi ( O ) là đỉnh nón, ( H ) là tâm đường tròn đáy và ( A ) là một điểm nằm trên đường tròn đáy

Ta có:

( OA = 2a ; HA =R= a )

(Rightarrow OH =sqrt{OA^2-HA^2}=sqrt{4a^2-a^2}=asqrt{3})

Vậy thể tích hình nón là : (V = frac{1}{3}.pi.a^2.asqrt{3}=frac{pi a^3}{sqrt{3}})

Xem chi tiết >>> Hình nón cụt là gì? Cách tính thể tích hình nón cụt

Cách tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ: (V = S.h)

Trong đó:

• ( V ) là thể tích hình trụ.
• ( S ) là diện tích đáy.
• ( h ) là chiều cao của hình trụ.

Tùy vào hình dạng đáy mà ta chia hình trụ làm hai loại: Hình trụ tròn và hình lăng trụ.

Cách tính thể tích hình trụ tròn

Hình trụ tròn là hình có hai mặt đáy là hai hình tròn song song với nhau và bằng nhau.

Công thức tính thể tích hình trụ rỗng ( hình trụ tròn) : (V = pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính đáy và ( h ) là chiều cao hình trụ.

Xem chi tiết >>> Công thức tính Diện tích hình trụ tròn, Thể tích hình trụ tròn

Công thức tính thể tích bồn dầu nằm ngang

Đây là dạng bài toán thực tế rất hay gặp trong các đề thi. Bài toán tổng quát như sau:

Ví dụ: 

Cho một bồn dầu hình trụ có bán kính đáy ( R ) chiều cao ( k ) đặt nằm ngang trên mặt đất. Đổ dầu vào bồn sao cho mực dầu trong bồn cách nắp bình ( ở mặt nằm ngang phía trên bồn ) khoảng cách là ( h ). Tính lượng dầu đã có trong bình?. 

Cách giải:

Như ta đã biết, thể tích hình trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Do đó để tính thể tích phần dầu có trong bình thì ta phải tính được diện tích mặt đáy của bình bị dầu chiếm ( phần diện tích tô màu xanh), kí hiệu là ( S_1 )

Ta có:

(S_1= (S_{(O)}-S_{stackrelfrown{AB}})+S_{Delta AOB}= pi R^2 (1- frac{cos^{-1}frac{R-h}{R}}{pi})+ (R-h)sqrt{2Rh-h^2})

Vậy thể tích dầu chứa trong bình là:

(V= (pi R^2 (1- frac{cos^{-1}frac{R-h}{R}}{pi})+ (R-h)sqrt{2Rh-h^2}).k)

Ví dụ:

Một bồn hình trụ đang chứa dầu có chiều dài ( 5m ) bán kính đáy ( 1m ) được đặt trên mặt phẳng nằm ngang, với nắp bồn đặt trên mặt nằm ngang của mặt trụ. Người ta đã rút dầu trong bồn, phần dầu còn lại có độ cao ( 1.5m ) (tính từ đáy bể đến mặt dầu). Tính thể tích của phần dầu đã rút ra (giả thiết độ dày thành bồn không đáng kể)

Cách giải:

Áp dụng vào công thức với ( R=1m , h=0.5m ) ta được :

(S_{stackrelfrown{AMB}}=S_{stackrelfrown{AB}}-S_{Delta AOB}=pi R^2.frac{cos^{-1}frac{R-h}{R}}{pi}+ (R-h)sqrt{2Rh-h^2} = frac{pi}{3}-frac{sqrt{3}}{4}) ( ( m^2 ) )

Vậy thể tích phần dầu đã rút ra là :

(V= 5.(frac{pi}{3}-frac{sqrt{3}}{4})) (( m^3 ) )

Công thức tính thể tích lăng trụ

Hình lăng trụ là hình có hai đáy là hai đa giác song song và bằng nhau, các cạnh bên song song và bằng nhau.

Thể tích hình lăng trụ: (V = S.h)

Trong đó ( S ) là diện tích đáy , ( h ) là chiều cao hình trụ.

Một số hình lăng trụ đặc biệt:

Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật và các cạnh bên vuông góc với đáy.

Thể tích hình hộp chữ nhật: ( V = a.b.h )

Trong đó ( a,b ) lần lượt là chiều dài, chiều rộng của đáy, ( h ) là chiều cao của hình hộp

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau

Công thức thể tích khối lập phương: ( V = a^3 )

Trong đó ( a ) là độ dài cạnh của hình lập phương

Ví dụ:

Cho lăng trụ xiên ( ABC.A’B’C’ ) có đáy là tam giác đều cạnh ( a ). Biết cạnh bên có độ dài bằng (asqrt{3}) và tạo với đáy một góc (60^{circ}). Tính thể tích hình lăng trụ.

Cách giải:

Gọi ( H ) là hình chiếu của ( C’ ) lên ( (ABC) )

Khi đó ( CH ) chính là đường cao của hình lăng trụ.

(CH = CC’.sin 60^{circ}=frac{3a}{2})

(S_{ABC}=frac{1}{2}.a.frac{asqrt{3}}{2}=frac{a^2sqrt{3}}{4})

Vậy thể tích hình lăng trụ ( ABC.A’B’C’ ) là:

(V= S_{ABC}.CH =frac{a^2sqrt{3}}{4}.frac{3a}{2}=frac{3sqrt{3}a^3}{8})

Xem chi tiết >>> Hình lăng trụ đứng là gì? Cách tính Diện tích và Thể tích hình lăng trụ đứng

Cách tính thể tích hình cầu

Cách tính thể tích khối cầu

(V= frac{4}{3}pi R^3)

Trong đó ( R ) là bán kính hình cầu

Cách tính thể tích hình quạt cầu

Hình quạt cầu là một phần của hình cầu xác định bởi mặt biên của một hình nón có đỉnh nằm tại tâm của hình cầu

Thể tích hình quạt cầu : (V= frac{2}{3}pi R^2.h)

Trong đó ( R ) là bán kính hình cầu , ( h ) là chiều cao của chỏm cầu

Ví dụ:

Cho hình lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) có độ dài cạnh bằng ( a ). Tính thể tích hình cầu ngoại tiếp hình lập phương đó

Cách giải:

Tâm của hình cầu là điểm ( O ) trung điểm mỗi đường chéo của hình lập phương

Ta có:

(AC = sqrt{AB^2+BC^2}=asqrt{2})

(R=frac{AC’}{2}=frac{sqrt{AC^2+CC’^2}}{2}=frac{asqrt{3}}{2})

Vậy thể tích hình cầu ngoại tiếp lập phương ( ABCD.A’B’C’D’ ) là :

(V=frac{4}{3}pi. R^3=frac{4}{3}pi.frac{3sqrt{3}a^3}{8}=frac{pi sqrt{3}a^3}{2})

Các công thức tính thể tích tứ diện trong Oxyz

Tổng quát : Cho tứ diện ( ABCD ) có độ dài các cạnh ( BC=a , CA=b, AB=c , AD=d, BD=e , CD = f ). Khi đó thể tích tứ diện ( ABCD ) được tính như sau:

(V=frac{1}{12}.sqrt{M+N+P-Q})

Trong đó:

(M=a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2))

(N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2))

(P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2))

(Q=(abc)^2+(cde)^2+(efa)^2+(bdf)^2)

Tùy vào từng dạng của tứ diện mà ta áp vào công thức trên sẽ có những cách tính khác nhau:

• Khối tứ diện đều có cạnh bằng ( a )

(V=frac{a^3sqrt{2}}{12})

• Khối tứ diện vuông: ( AB,AC,AD ) đôi một vuông góc

(V=frac{AB.AC.AD}{6})

• Khối tứ diện gần đều: Có các cặp cạnh đối bằng nhau : (left{begin{matrix} AB=CD=a\BC=DA=b \ CA=BD=c end{matrix}right.)

(V=frac{sqrt{2}}{12}.sqrt{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)})

• Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa hai cạnh đối diện : (left{begin{matrix} AB=a \ CD=b \ d(AB,CD)=d\ (AB,CD)= alpha end{matrix}right.)

(V=frac{a.b.d.sin alpha}{6})

• Khối tứ diện biết hai mặt kề nhau : (left{begin{matrix} S_{ABC}=S_1\ S_{ABD}=S_2 \ AB=a \ ((ABD),(ABC))=alpha end{matrix}right.)

(V=frac{2.S_1.S_2.sin alpha}{3a})

• Khối tứ diện biết các góc ở một đỉnh : (left{begin{matrix} AB=a\AC=b \ AD=c end{matrix}right.) và (left{begin{matrix} widehat{BAC}=alpha \ widehat{CAD}=beta \widehat{DAB}=gamma end{matrix}right.)

(V=frac{abc}{6}.sqrt{1+2cos alpha . cos beta . cos gamma -cos^2alpha-cos^2beta -cos^2 gamma})

Ví dụ:

Cho khối tứ diện ( ABCD ) có các cặp cạnh đối diện bằng nhau : (left{begin{matrix} AB=CD=8\BC=DA=5 \ CA=BD=7 end{matrix}right.)

Tính thể tích khối tứ diện?.

Cách giải:

Áp dụng công thức bên trên, ta có :

(V=frac{sqrt{2}}{12}.sqrt{(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)})

(=frac{sqrt{2}}{12}.sqrt{(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)})

(=frac{20sqrt{11}}{3}) đơn vị thể tích.

Công thức thể tích khối tròn xoay

Khối tròn xoay quanh trục hoành

Cho hình ( (H) ) là vật thể khối tròn xoay tạo bởi giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ( y=f(x) , y=g(x) , x=a, x=b ) quay quanh trục ( Ox )

(V_{(H)} = pi. |int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx|)

Khối tròn xoay quanh trục tung 

Cho hình ( (H) ) là vật thể khối tròn xoay tạo bởi giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ( x=f(y) , x=g(y) , y=a, y=b ) quay quanh trục ( Ox )

(V_{(H)} = pi. |int_{a}^{b}(f^2(y)-g^2(y))dx|)

Trong hầu hết các bài toán thì hai đường thẳng ( x=a;x=b ) hoặc ( y=a;y=b ) được tìm bằng cách giải phương trình ( f(x)=g(x) ) hoặc ( f(y)=g(y) )

Mở rộng:

Cho hình ( (H) ) là vật thể khối tròn xoay tạo bởi giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ( y=f(x) , y=g(x) , y= h(x) ) quay quanh trục ( Ox )

(V_{(H)} =pi. |int_{a}^{b}(f^2(x)-g^2(x))dx|+ pi. |int_{b}^{c}(g^2(x)-h^2(x))dx|)

Trong đó ( a,b,c ) lần lượt là nghiệm của các phương trình: (left{begin{matrix} f(x)=g(x)\ g(x)=h(x) \ h(x)=f(x) end{matrix}right.)

Công thức tính thể tích khối tròn xoay elip

Cho hình ( (H) ) là vật thể tạo bởi Elip có độ dài đáy lớn ( 2a ), đáy bé ( 2b ), tâm ( I ) cách ( O ) một đoạn ( h ) quay xung quanh ( Ox ). Khi đó thể tích hình ( (H) ) được tính theo công thức:

(V_H = 2pi^2.abh)

Trường hợp đặc biệt:

Hình tròn là một hình Elip đặc biệt có ( a=b=R ) nên thể tích khối khi quay hình tròn bán kính ( R ) quanh trục ( Ox ) là:

( V=2 pi^2 R^2.h )

Tổng quát: Thể tích khối khi quay một hình bất kì có tâm đối xứng và có diện tích ( S ) quanh trục ( Ox ) là:

( V= 2pi .h.S )

Ví dụ:

Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số ( y=x ) và (y= sqrt{x}) quay quanh trục ( Ox ) tạo thành hình khối ( H ). Tính thể tích ( H )

Cách giải:

Giải phương trình : (x= sqrt{x} Leftrightarrow x=0) hoặc ( x=1 )

Vậy khối tròn xoay được tạo bởi giới hạn đồ thị ( y=x ,y= sqrt{x}) và ( x=0;x=1 )

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay ta được :

(V_H = pi.|int_{0}^{1}(x^2-x)dx | =frac{pi}{6})

Tổng kết chung về cách tính thể tích

• Để tính thể tích hình trụ, hình nón, hình chóp thì ta cần tính được diện tích đáy và chiều cao của nó.
• Để tích thể tích hình cầu, ta cần tính được bán kính ( R ) của nó
• Để tính thể tích tứ diện trong ( Oxy ) ta có thể áp dụng công thức tính thể tích hình chóp hoặc tính toán được một vài giá trị độ dài cạnh hoặc góc ở đỉnh rồi áp dụng công thức.
• Để tính thể tích khối tròn xoay, ta tính giá trị nghiệm của hai hàm số rồi sử dụng công thức tích phân.
• Để tính thể tích khối tròn xoay Elip, ta cần tính được diện tích của Elip hay tính được độ dài hai trục của Elip.

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các công thức tính thể tích. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề cách tính thể tích. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm >>> Thể tích tứ diện đều: Khái niệm, Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều