Chia sẻ những tip thiết thực

Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz: Lý thuyết và Bài tập

0

Viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz hay viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm là những dạng toán quan trọng trong chương trình toán THPT. Trong nội dung bài viết dưới đây Tip.edu.vn sẽ giúp các bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian, cùng tìm hiểu nhé!

Phương trình của mặt phẳng trong không gian

Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong không gian Oxyz có dạng:


Ax + By + Cz + D = 0 với (A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}> 0 )

Muốn viết phương trình của mặt phẳng trong không gian Chúng ta cần xác định 2 sự kiện:

  • Điểm M bất kỳ mà mặt phẳng đi qua.
  • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Phuong- Trinh-mat-phang-in-khong-gian

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D ‘= 0 thì:

Hai mặt phẳng cắt nhau nếu và chỉ nếu: ( frac {A} {A ‘} neq frac {B} {B’} neq frac {C} {C ‘} )

Hai mặt phẳng song song nếu và chỉ khi: ( frac {A} {A ‘} = frac {B} {B’} = frac {C} {C ‘} neq frac {D} {D’} )

Hai mặt phẳng trùng nhau nếu và chỉ khi: ( frac {A} {A ‘} = frac {B} {B’} = frac {C} {C ‘} = frac {D} {D’} )

Hai mặt phẳng vuông góc nếu và chỉ khi: (AA ‘+ BB’ + CC ‘= 0 )

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm M (a, b, c) và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó khoảng cách từ điểm M đến (P) được xác định như sau:

(d (A, (P)) = frac { left | Aa + Bb + Cc + D right |} { sqrt {A ^ {2} + B ^ {2} + C ^ {2}} } )

Tóm tắt lý thuyết viết phương trình mặt phẳng trong không gian

cách viết phương trình mặt phẳng trong không gian và các bài tập điển hình

Các dạng bài về phương trình mặt phẳng trong Oxyz. không gian

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) biết một điểm trên mặt phẳng và vectơ pháp tuyến

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm (M (x_ {0}; y_ {0}; z_ {0}) )

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến ( vec {n} (A, B, C) )

Khi đó phương trình mặt phẳng (P): (A (x-x_ {0}) + B (y-y_ {0}) + C (z-z_ {0}) = 0 )

vectơ

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M (3; 1; 1) và có VTPT ( vec {n} = (1; -1; 2) )

Dung dịch:

Thay vào tọa độ của điểm M và VTPP ( vec {n} ) chúng ta có:

(P): ((1) (x – 3) + (-1) (y – 1) + 2 (z – 1) = 0 Mũi tên trái x – y + 2z – 4 = 0 )

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm phi tuyến.

Vì mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A, B, C. Vậy mặt phẳng (P) có một cặp vectơ chỉ phương ( vec {AB}; vec {AC} )

Sau đó, chúng ta gọi ( vec {n} ) là vectơ pháp tuyến của (P), thì ( vec {n} ) sẽ bằng tích có hướng của hai vectơ ( vec {AB} ) và ( vec {AC} ). Đó là, ( vec {n} = left [ vec{AB};vec{AC} right ])

phuong-trinh-mat-phang-di-qua-3-diem-khong-thang-hang

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm phi tuyến A (1,1,3); B (-1,2,3); C (-1; 1; 2)

Dung dịch:

Ta có: ( vec {AB} = (-2; 1; 0); vec {AC} = (-2.0, -1) Rightarrow left [ vec{AB},vec{AC} right ] = (-1, -2,2) )

Suy ra mặt phẳng (P) có VTPT là ( vec {n} = left [ vec{AB},vec{AC} right ] = (-1, -2,2) ) và đi qua điểm A (1,1,3) nên có phương trình:

((- 1) (x – 1) – 2 (y – 1) + 2 (z – 3) = 0 Mũi tên trái -x – 2y + 2z – 3 = 0 )

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với mặt phẳng khác

Mặt phẳng (P) đi qua điểm (M (x_ {0}; y_ {0}; z_ {0}) ) và song song với mặt phẳng (Q): Ax + By + Cz + m = 0

Vì M thuộc mp (P) nên thay tọa độ của M và pt (P) ta tìm được M.

Khi đó mặt phẳng (P) sẽ có phương trình:

(A (x – x_ {0}) + B (y – y_ {0}) + C (z – z_ {0}) = 0 )

Chú ý: Hai mặt phẳng song song có cùng một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; -2; 3) và song song với mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + 5 = 0

Dung dịch:

Vì (P) song song với (Q) nên VTPT của (P) cùng phương với VTPT của (Q).

Vậy (P) có dạng: 2x – 3y + z + m = 0

Mà (P) đi qua M nên thay tọa độ của M (1; -2,3) ta có:

(2.1 + (-3). (- 2) + 3 + m = 0 Mũi tên trái m = -11 )

Vậy phương trình (P): 2x – 3y + z – 11 = 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua đường thẳng và điểm cho trước

Mặt phẳng (P) đi qua điểm (M (x_ {0}; y_ {0}; z_ {0}) ) và đường thẳng d.

Lấy điểm A trên dòng d, chúng tôi tìm vectơ ( vec {MA} ) và VTCP ( vec {u} ), từ đó chúng tôi tìm thấy VTPT (2.1 vec {n} = left [ vec{MA};vec{u} right ]).

Thay vào tọa độ ta ​​được phương trình của mặt phẳng (P)

Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (3; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình: ( frac {x – 3} {- 2} = frac {y + 1} {1} = frac {z + 1} {1} )

Dung dịch:

Lấy điểm A (3; -1; -1) trên đường thẳng d.

Xuất phát ( vec {MA} (0; -2; -1) ) và VTCP ( vec {u} (-2; 1; 1) )

Mặt phẳng (P) chứa d và đi qua M nên ta có VTPT: ( vec {n} = left [ vec{MA};vec{u} right ] = (-1; 2; 4) )

Vậy phương trình mặt phẳng (P): (- 1 (x – 3) + 2 (y – 1) – 4z = 0 Leftrightarrow -x + 2y – 4z + 1 = 0 )

Xem thêm >>> Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz

Xem thêm >>> Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian: Lý thuyết và Bài tập

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến ​​thức về viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz. Nếu bạn có thắc mắc hay góp ý gì về chủ đề viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz, hãy để lại bình luận bên dưới để chúng ta cùng thảo luận nhé. Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay hãy chia sẻ nhé <3

Xem chi tiết qua bài giảng bên dưới


(Nguồn: Youtube.com)

Xem thêm nhiều bài viết hay về Hỏi Đáp Toán Học

▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Rate this post
Leave a comment