Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước

By Mắt Cận Last updated Th12 31, 2023

Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước được tip.edu.vn biên soạn và đăng tải. Với các dạng bài tập tìm m là những dạng bài tập thường gặp trong các đề thi vào lớp 10. Dưới đây là bài tập và các bài ví dụ cho về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng các em tham khảo nhé

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tìm m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt

I. Các dạng bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thường gặp
- 1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
- 2. Các dạng toán thường gặp
II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng
III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng

I. Các dạng bài tập tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thường gặp

1. Điều kiện để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

+ Đường thẳng (d): y = mx + n và parabol (P): y = ax² (a khác 0) có phương trình hoành độ giao điểm là: ax² = mx + n ⇔ ax² – mx – n = 0(1)

+ Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay ∆ > 0

2. Các dạng toán thường gặp

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về bên phải trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

+ Đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm có tọa độ thỏa mãn biểu thức cho trước (ta sẽ biến đổi biểu thức để sử dụng hệ thức Vi-ét của phương trình (1))

II. Bài tập ví dụ về sự tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1: Cho parabol (P): y = – 2x² và đường thẳng (d): y = 3x + m – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm bên trái trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm bên trái trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ mang dấu âm.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

-2x² = 3x + m – 1 ⇔ 2x² + 3x + m – 1 = 0(1)

Có ∆ = b² – 4ac = 9 – 4.2.(m – 1) = 9 – 8m + 8 = 17 – 8m

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 – 8m > 0 ⇔ $m < frac{{17}}{8}$

Với $m < frac{{17}}{8}$ , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét

$left{ begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = frac{{ - b}}{a} = frac{{ - 3}}{2}\ P = {x_1}{x_2} = frac{c}{a} = frac{{m - 1}}{2} end{array} right.$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm

$Leftrightarrow left{ begin{array}{l} S < 0\ P > 0 end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l} frac{{ - 3}}{2} < 0\ frac{{m - 1}}{2} > 0 end{array} right. Rightarrow m - 1 > 0 Leftrightarrow m > 1$ kết hợp với điều kiện $m < frac{{17}}{8} Rightarrow 1 < m < frac{{17}}{8}$

Vậy với $1 < m < frac{{17}}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về bên trái của trục tung

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x – m² + 9. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Hướng dẫn:

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ trái dấu.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:

x² = 2x – m² + 9 ⇔ x² – 2x + m² – 9 = 0 (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu

⇔ m² – 9 < 0 ⇔ (m – 3)(m + 3) < 0

$Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{ begin{gathered} m - 3 > 0 hfill \ m + 3 < 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ left{ begin{gathered} m - 3 < 0 hfill \ m + 3 > 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. Leftrightarrow left[ begin{gathered} left{ begin{gathered} m > 3 hfill \ m < - 3 hfill \ end{gathered} right. hfill \ left{ begin{gathered} m < 3 hfill \ m > - 3 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. Rightarrow - 3 < m < 3$

Vậy với -3 < m < 3 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Bài 3: Cho đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P): y = x²

a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung. Khi đó hai giao điểm nằm bên phải hay bên trái trục tung?

b, Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách giữa 2 hoành độ của điểm A và B bằng $3sqrt 2$

Lời giải:

a, Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

x² = x + m ⇔ x² – x – m = 0(1)

Có ∆ = b² – 4ac

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ $m > frac{{ - 1}}{4}$

Với $m > frac{{ - 1}}{4}$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét

$left{ begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = frac{{ - b}}{a} = 1\ P = {x_1}{x_2} = frac{c}{a} = - m end{array} right.$

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0 ⇔ – m > 0 ⇔ m < 0 kết hợp với điều kiện $m > frac{{ - 1}}{4} Rightarrow - frac{1}{4} < m < 0$

Có S = 1 > 0 nên hai nghiệm của phương trình (1) là hai nghiệm cùng dấu dương

Vậy với $frac{{ - 1}}{4} < m < 0$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên phải trục tung

b, Với $m > frac{{ - 1}}{4}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x₁; y₁) và B(x₂; y₂) thỏa mãn Vi-ét:

$left{ begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = dfrac{{ - b}}{a} = 1\P = {x_1}{x_2} = dfrac{c}{a} = - mend{array} right.$

Khoảng cách giữa hai điểm bằng $3sqrt 2 Rightarrow left| {{x_1} - {x_2}} right| = 3sqrt 2 Rightarrow {left( {{x_1} - {x_2}} right)^2} = 36$

$begin{array}{l} Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 36\ Leftrightarrow {left( {{x_1} + {x_2}} right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 36\ Leftrightarrow {1^2} + 3m = 36 Leftrightarrow m = frac{{35}}{3}left( {tm} right) end{array}$

Vậy với $m = frac{{35}}{3}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B mà khoảng cách giữa chúng bằng $3sqrt 2$

Bài 4: Cho parabol (P): $y = - frac{1}{2}{x^2}$ và đường thẳng (d): y = mx – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):

$frac{{ - 1}}{2}{x^2} = mx - 1 Leftrightarrow {x^2} + 2mx - 2 = 0$ (1)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Có ∆ = b’² – ac = m² + 2 > 0 với mọi m

Vậy với mọi m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:

$left{ begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = frac{{ - b}}{a} = - 2m\ {x_1}{x_2} = frac{c}{a} = - 2 end{array} right.$

Có $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

$begin{array}{l} Leftrightarrow x_1^3x_2^3left( {{x_1} + {x_2}} right) - 5{x_1}{x_2} = 0\ Leftrightarrow {left( { - 2} right)^3}.left( { - 2m} right) + 5.2 = 0\ Leftrightarrow 16m + 10 = 0\ Leftrightarrow m = frac{{ - 5}}{8}left( {tm} right) end{array}$

Vậy với $m = frac{{ - 5}}{8}$ thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0$

III. Bài tập tự luyện về tương giao giữa parabol và đường thẳng

Bài 1: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – 2m + 4

a, Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 1

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho $| {x{ _1}}| = 2| {{x_2}}|$

Bài 2: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx – m. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 3: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 4x – m – 1

a, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

b, Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho hoành độ của chúng thỏa mãn |x₁ – x₂| = 2

Bài 4: Cho parabol (P): y = x² và (d): y = x + m. Tim m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung

Bài 5: Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = (2m + 3)x + 2m + 4. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x₁, x₂ là hoành độ của A, B thỏa mãn |x₁| + |x₂| = 5

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = 2(m – 1)x + 3 – 2m và parabol (P): y = x². Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x₁, x₂ thỏa mãn

a, $frac{1}{{{x_1}}} + frac{5}{{{x_2}}} = 1$

b, $left( {x_1^2 - 2m{x_1} - 3} right)left( {x_2^2 - 2m{x_2} - 3} right) < 1$

c, ${x_1}x_2^2 + left( {2m - 3} right){x_1} = 2$

d, $x_1^2 + {x_2} - 2m = 0$

Ngoài ra, Tip.edu.vn đã thành lập group chia sẻ tài liệu học tập THCS miễn phí trên Facebook: Tài liệu học tập lớp 9. Mời các bạn học sinh tham gia nhóm, để có thể nhận được những tài liệu mới nhất.

Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thỏa mãn được tip.edu.vn chia sẻ trên đây sẽ là tài liệu hữu ích cho các em ôn tập để chuẩn bị cho kì thì giữa học kì 1 lớp 9 cũng như các kì thi quan trong khác và đặc biệt là kì thi vào lớp 10 sắp tới. Chúc các em học tốt, dưới đây là một số tài liệu môn Toán lớp 9 các em tham khảo nhé

Ôn thi vào lớp 10 chuyên đề 5: Hàm số và đồ thị
Chuyên đề hàm số và đồ thị ôn thi vào lớp 10
Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 4: Hàm số bậc nhất – hàm số bậc hai
Chuyên đề 4: Giải bài Toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình
Toán nâng cao lớp 9 Chủ đề 5: Hệ phương trình

——————-

Ngoài các dạng Toán 9 ôn thi vào lớp 10 trên, mời các bạn học sinh còn có thể tham khảo các đề thi học kì 2 lớp 9 các môn Toán, Văn, Anh, Vật Lý, Địa Lý, Sinh học mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với tài liệu này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, qua đó giúp các bạn học sinh ôn tập, chuẩn bị tốt vào kì thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới. Chúc các bạn ôn thi tốt!

	Đặt câu hỏi về học tập, giáo dục, giải bài tập của bạn tại chuyên mục Hỏi đáp của tip.edu.vn
Hỏi – Đáp	Truy cập ngay: Hỏi – Đáp học tập

▪️ TIP.EDU.VN chia sẻ tài liệu môn Toán các lớp 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10, 11, 12 và ôn thi THPT Quốc gia, phục vụ tốt nhất cho các em học sinh, giáo viên và phụ huynh học sinh trong quá trình học tập – giảng dạy.
▪️ TIP.EDU.VN có trách nhiệm cung cấp đến bạn đọc những tài liệu và bài viết tốt nhất, cập nhật thường xuyên, kiểm định chất lượng nội dung kỹ càng trước khi đăng tải.
▪️ Bạn đọc không được sử dụng những tài nguyên trang web với mục đích trục lợi.
▪️ Tất cả các bài viết trên website này đều do chúng tôi biên soạn và tổng hợp. Hãy ghi nguồn website https://tip.edu.vn/ khi copy bài viết.

Rate this post