Quỹ tích là gì? Phương pháp giải bài toán tìm quỹ tích

Quỹ tích là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học THCS cũng như THPT. Vậy quỹ tích là gì? Cách giải bài toán quỹ tích như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, hãy cùng Tip.edu.vn tìm hiểu chi tiết về chủ đề quỹ tích là gì nhé!. 

Định nghĩa quỹ tích là gì? 

Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T.

Các loại quỹ tích cơ bản

• Tập hợp các điểm bao gồm hai điểm A, B và tất cả những điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB.
• Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định chính là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
• Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là tia phân giác của góc đó.
• Tập hợp các điểm cách đường thẳng (d) một khoảng bằng I là hai đường thẳng song song với (d) và sẽ cách đường thẳng (d) một khoảng chính bằng I.
• Ta có tập hợp của các điểm cách điểm cố định O một khoảng bằng R chính là đường tròn tâm O, với bán kính R trong mặt phẳng và là mặt cầu tâm O, bán kính R trong không gian ba chiều.
• Tập hợp các điểm M tạo với hai đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc (widehat{AMB}) sẽ có số đo bằng (alpha) không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung tròn chứa góc (alpha) vẽ trên đoạn AB).
• Tập hợp những cặp điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
• Tập hợp các điểm trong mặt phẳng với tổng khoảng cách tới hai điểm cố định cho trước (nằm trong mặt phẳng đó) chính là đường elíp nhận hai điểm cố định đó là tiêu điểm.
• Tập hợp các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng cố định sẽ là đường Parabol trong mặt phẳng đi qua điểm và đường cố định đó.

Cách chuẩn bị giải bài toán quỹ tích

Tìm hiểu kĩ bài toán

Trước hết bạn cần tìm hiểu kĩ bài toán để nắm vững các yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một bài toán quỹ tích thường sẽ xuất hiện 3 yếu tố sau đây: 

• Yếu tố cố định: Như các điểm, đoạn thẳng hay đường thẳng, ….
• Yếu tố không đổi: Như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, …. 
• Yếu tố thay đổi: Thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích, hoặc các đoạn thẳng, hoặc các hình mà trên đó chứa các điểm ta cần tìm quỹ tích.

Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích

Để hiểu rõ hơn về các yếu tố trên ta xét các ví dụ sau đây: 

Ví dụ 1: Cho một góc vuông (widehat{xOy}) cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB .

Trong bài toán này chúng ta cần xác định 3 yếu tố đã nêu trên: 

• Yếu tố cố định là đỉnh O của góc vuông (widehat{xOy})
• Yếu tố không đổi là độ dài của đoạn thẳng AB
• Yếu tố thay đổi là điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của đoạn thẳng AB cũng thay đổi.

Ví dụ 2: Cho một đường thẳng (b) và điểm A cố định không thuộc đường thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng (b) sao cho nó luôn luôn đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.

• Yếu tố cố định là đỉnh A và đường thẳng (b)
• Yếu tố thay đổi là đỉnh B và đỉnh C
• Yếu tố không đổi chính là hình dạng của tam giác ABC (AB = AC)

Tóm lại: Qua 2 ví dụ trên ta cần chú ý: 

• Trong một bài toán có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu tố không đổi và nhiều yếu tố thay đổi. Vì vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố có liên quan đến cách giải mà thôi.
• Đôi khi các yếu tố đặc trưng trên không được cho một cách trực tiếp nên ta cần phải hiểu được một cách linh hoạt và sáng tạo.
• Ở ví dụ 2, đề bài yêu cầu là tam giác đồng dạng với chính nó, vì thế ta cần lập ra hoặc chứng minh các giả thiết để tam giác ABC luôn đồng dạng (AB = AC). Thông qua việc đó giúp ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn

Cách đoán nhận quỹ tích

Thao tác đoán nhận quỹ tích giúp chúng ta có thể hình dung ra được hình dạng của quỹ tích (đoạn thẳng, đường thẳng, hình tròn, ….).

Để đoán nhận quỹ tích ta thường tìm ba điểm của quỹ tích. Để có thể nhận được kết quả tốt và đơn giản nhất ta xét các điểm giới hạn của chúng, với điều kiện là vẽ hình chính xác.

• Nếu ba điểm ta vẽ được không thẳng hàng thì nhiều khả năng quỹ tích là đường tròn
• Nếu ba điểm ta vẽ được thẳng hàng thì khả năng quỹ tích sẽ là đường thẳng.

Cách giải bài toán quỹ tích

Chứng minh phần thuận

Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H. Thực chất của phần này là đi tìm hình dạng của quỹ tích (kiểm tra với một vài trường hợp cụ thể, dự đoán và sử dụng lặp luận để chứng minh quỹ tích cần tìm). 

Chứng minh phần đảo

Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T. Mục tiêu của việc chứng minh phần đảo là xác minh lại một lần nữa (trong nhiều trường hợp thì việc xét phần đảo sẽ là cách chứng minh chắc chắn nhất cho lập luận của mình).

Tóm lại: Sau khi chứng minh cả hai phần trên ta kết luận: Quỹ tích của những điểm M thỏa mãn tính chất T là hình H.

Ví dụ về bài toán tìm quỹ tích điểm

Để giải được bài toán tìm quỹ tích điểm: (overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}=koverrightarrow{MC})

• Bước 1: Xác định các yếu tố đặc trưng (yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi)
• Bước 2: Biến đổi biểu thức vectơ cho trước về 1 trong 5 dạng toán sau: 

Dạng 1: Cho ba điểm A, B, C cố định. M di chuyển. Ta chứng minh được (overrightarrow{CM}=koverrightarrow{AB}) khi đó điểm M di chuyển trên đường thẳng (left (Delta right )) qua điểm C và song song với AB.

Dạng 2: Cho hai điểm A, B cố định. Quỹ tích điểm M là điểm di chuyển sao cho (left | overrightarrow{MA} right |=left | overrightarrow{MB} right |). Khi đó quỹ tích điểm M thỏa mãn (left | overrightarrow{MA} right |=left | overrightarrow{MB} right |) là đường thẳng (left (Delta right )) là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Dạng 3: Cho (I) là điểm cố định, M là điểm di động. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: (overrightarrow{IM}=R>0) thì quỹ tích điểm M là đường tròn (left ( I;R right )) 

Dạng 4: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B cố định và một điểm M di chuyển. Quỹ tích điểm M thỏa mãn: (overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0) là đường tròn (C) có (left ( O;frac{AB}{2} right ))

Dạng 5: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A,B cố định và một điểm M di chuyển có (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0). Khi đó quỹ tích điểm M sẽ là đường thẳng (left ( Delta right )) đi qua A và vuông góc với AB.

Một số bài tập tìm quỹ tích điểm

Từ khái niệm quỹ tích là gì, để nắm rõ hơn kiến thức, chúng ta cùng tìm hiểu về một số bài tập quỹ tích dưới đây nhé.

Ví dụ 1: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn (overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC}left ( kne0 right ))

Cách giải: 

Nhận xét: 

• A,B,C là yếu tố cố định.
• M là yếu tố thay đổi.

Gọi (I) là trung điểm của AB. Ta có: 

(overrightarrow{MA}+2overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})

(Rightarrowoverrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MB}-overrightarrow{MC}=koverrightarrow{BC})

(Rightarrow2overrightarrow{MI}+overrightarrow{CB}=koverrightarrow{BC}) (do (I) là trung điểm của AB)

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}-overrightarrow{CB})

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=koverrightarrow{BC}+overrightarrow{BC})

(Rightarrow2overrightarrow{MI}=left (k+1 right )overrightarrow{BC})

(Rightarrowoverrightarrow{MI}=left (frac{k+1}{2} right )overrightarrow{BC}) (tương ứng với dạng toán 1 đã nêu ở trên).

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta right )) đi qua (I) và song song với BC 

Ví dụ 2: Cho A,B cố định. Tập hợp điểm M thỏa mãn (left | 2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} right |=5) 

Cách giải: 

Nhận xét: 

• A, B là yếu tố cố định.
• M là yếu tố thay đổi

Giả sử điểm (I) nằm giữa đoạn thẳng AB và thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})

Khi đó ta có: 

(left |2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} right |=5\ Rightarrowleft | 2overrightarrow{MI}+2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{MI}+3overrightarrow{IB} right |=5\ Rightarrowleft | 5overrightarrow{MI}+left (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB} right ) right |=5\Rightarrow5left | overrightarrow{MI} right |=5\Rightarrowleft | overrightarrow{MI} right |=1)

(giống với dạng 3 đã nêu ở trên)

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm (I) và bán kính = 1.

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp điểm M sao cho (left | 2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} right |=left |overrightarrow{MC}+4overrightarrow{MD} right |)

Cách giải: 

• Giả sử điểm (I) thỏa mãn (2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB}=overrightarrow{0})
• Giả sử điểm (J) thỏa mãn (overrightarrow{JC}+4overrightarrow{JD}=overrightarrow{0})

Ta có: 

(left | 2overrightarrow{MA}+3overrightarrow{MB} right |=left |overrightarrow{MC}+4overrightarrow{MD} right |\Rightarrowleft | 2overrightarrow{MI}+2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{MI}+3overrightarrow{IB} right |=left |overrightarrow{MJ}+overrightarrow{JC}+4overrightarrow{MJ}+4overrightarrow{JD} right |\Rightarrowleft | 5overrightarrow{MI}+left ( 2overrightarrow{IA}+3overrightarrow{IB} right ) right |=left | 5overrightarrow{MJ}+left ( overrightarrow{JC}+4overrightarrow{JD} right ) right |\Rightarrowleft | 5overrightarrow{MI} right |=left | 5overrightarrow{MJ} right |\Rightarrowleft | overrightarrow{MI} right |=left | overrightarrow{MJ} right|)

(giống với dạng toán 2 đã nêu ở trên).

Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng (left ( Delta right )) là trung trực của (IJ)

Ví dụ 4: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M sao cho (overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=AM^2)

Cách giải: 

Ta có: 

(overrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}\Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}=0\Rightarrowoverrightarrow{AM}.left ( overrightarrow{AB}-overrightarrow{AM} right )=0\Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\Rightarrow-overrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0\Rightarrowoverrightarrow{MA}.overrightarrow{MB}=0)

(giống dạng toán 4 đã nêu ở trên)

Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm O bán kính là (frac{AB}{2}).

Ví dụ 5: Cho (bigtriangleup ABC). Tìm tập hợp điểm M sao cho (left |overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} right |=left |6overrightarrow{MA}-3overrightarrow{MB}+3overrightarrow{MC} right |)

Cách giải: 

• Gọi (I) là trung điểm của BC (Rightarrowoverrightarrow{MB}+overrightarrow{MC}=2overrightarrow{MI})
• Gọi G là trọng tâm của (bigtriangleup ABCRightarrowoverrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC}=overrightarrow{0})

Ta có: 

(left |overrightarrow{MA}+overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} right |=left |6overrightarrow{MA}-3overrightarrow{MB}+3overrightarrow{MC} right |\Rightarrowleft |overrightarrow{MG}+overrightarrow{GA}+overrightarrow{MG}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{MG}+overrightarrow{GC} right |=left |6overrightarrow{MA}-3left ( overrightarrow{MB}+overrightarrow{MC} right ) right |\Rightarrowleft |3overrightarrow{MG}+left ( overrightarrow{GA}+overrightarrow{GB}+overrightarrow{GC} right ) right |=left |6overrightarrow{MA}-3left ( 2overrightarrow{MI} right ) right |\Rightarrowleft |3overrightarrow{MG} right |=left |6overrightarrow{MA}-6overrightarrow{MI} right |\Rightarrow3left |overrightarrow{MG} right |=6left |overrightarrow{IA} right |\Rightarrow MG=2IA)

• Ta thấy A cố định (giả thiết) và (I) là trung điểm của BC suy ra (I) cố định. (1)
• G là trọng tâm của (bigtriangleup ABC) suy ra G cố định (2)

Từ (1) và (2) suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn tâm G, bán kính là (2IA)

Ví dụ 6: Trên mặt phẳng cho 2 điểm A,B cố định. Tìm tập hợp điểm M sao cho (AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0)

Cách giải: 

Ta có: 

(AM^2+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AM}+overrightarrow{AM}.overrightarrow{MB}=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.left (overrightarrow{AM}+overrightarrow{MB} right )=0\ Rightarrowoverrightarrow{AM}.overrightarrow{AB}=0)

Bài viết trên đây của Tip.edu.vn đã cùng bạn tổng hợp và tìm hiểu về chủ đề quỹ tích là gì cùng một số kiến thức liên quan. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những nội dung hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề quỹ tích là gì. Chúc bạn luôn học tập tốt!. 

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

• Khái niệm và Các định nghĩa của Xác Suất trong Toán học
• Hàm số liên tục là gì? Phương pháp giải và Các dạng bài tập
• Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng toán
• Phép dời hình lớp 11 – Khái niệm lý thuyết và Các dạng bài tập cơ bản
• Sự đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác và Các dạng bài tập
• Phương trình lượng giác và Công thức nghiệm phương trình lượng giác
• Dãy số cấp số cộng cấp số nhân – Lý thuyết và Cách giải các dạng bài tập
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và Các dạng bài tập
• Vecto trong không gian lớp 11 và Các dạng toán vecto trong không gian