Mặt tròn xoay là gì? Định nghĩa, Công thức và Tính chất của mặt tròn xoay

Mặt tròn xoay là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toán THPT. Chuyên đề này bao gồm rất nhiều kiến ​​thức như định nghĩa, khái niệm, tính chất, công thức … Để giải được bài tập này, học sinh cần nắm chắc lý thuyết và nắm vững các dạng bài tập. Dưới đây, hãy cùng Tip.edu.vn tìm hiểu thêm về chủ đề này nhé!

Mặt xoay là gì?

Mặt tròn là một bề mặt trong không gian Eclidean, được tạo ra bằng cách quay một đường cong quanh một trục cố định. Ví dụ, các khối tròn xoay được tạo ra từ một đường thẳng như hình nón, hình trụ, hình cầu.

Lý thuyết mặt tròn toán 12

Trong không gian cho mặt phẳng ((P) ) chứa dòng (( Delta) ) và dòng ((C) ) nằm trong ((P) ). Xoay mặt phẳng ((P) ) xung quanh (( Delta) ) một góc (360 ^ { circle} ) thì đường ((C) ) tạo thành một hình dạng. Đó là mặt tròn

((C) ) được gọi là đường sinh của đường tròn xoay.

(( Delta) ) được gọi là trục của khối tròn xoay.

Hình ảnh mặt tròn được nhiều người nghiên cứu và tìm hiểu cũng như các dạng bài tập nhất là hình nón tròn xoay (hay mặt nón).

Mặt mũ tròn

Hình nón xoay là gì?

Trong mặt phẳng (P), cho hai đường thẳng d và d ‘cắt nhau tại O và tạo thành góc ( alpha ).

Khi quay mặt phẳng (P) quanh d thì d ‘sinh ra một thiết diện là hình nón tròn xoay.

O được gọi là đỉnh của hình nón, d là trục, d ‘là đường sinh, góc (2 alpha ) được gọi là góc ở đỉnh của hình nón.

Quay nón

Cho trước ( bigtriangleup AOB ), ( widehat {AOB} = 90 ^ { circle} ). Khi chúng ta quay ( bigtriangleup ) quanh trục OA, đường gấp khúc AOB tạo thành một hình nón tròn xoay.

Đường tròn (O; OB) là đáy của hình nón

A là đỉnh của hình nón

AB được gọi là đường sinh của hình nón.

Nhận xét: – Thiết diện của hình nón và mặt phẳng qua đỉnh của hình nón là tam giác cân tại đỉnh của hình nón.

• ( forall M epsilon C (O, R); SM = 1 ): cách xác định đường sinh của hình nón

Khối hình nón quay (khối hình nón)

Thể tích tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi hình nón, bao gồm cả hình nón đó.

Một số tính chất của khối tròn xoay

* Nếu cắt hình nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì xảy ra các trường hợp sau:

• Mặt phẳng cắt hình nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân
• Trường hợp mặt phẳng tiếp tuyến với hình nón bằng một đường sinh thì gọi là mặt phẳng tiếp tuyến của hình nón.

* Nếu cắt hình nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì xảy ra các trường hợp sau:

• Nếu mặt phẳng cắt trục hình nón thì giao tuyến đó là một đường tròn.
• Nếu mặt phẳng cắt 2 hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hyperbol.

Công thức mặt tròn

Công thức tính diện tích hình tròn xoay

• Nếu một đường cong được xác định bởi phương trình tham số x

Trục quay là trục x, diện tích của hình tròn xoay được tính theo công thức:

(S_ {x} = 2 pi int_ {a} ^ {b} y

Trục quay là trục y, diện tích của hình tròn xoay được tính theo công thức:

(S_ {y} = 2 pi int_ {a} ^ {b} x

• Nếu đường cong được mô tả bởi hàm (y = f (x), a leq x leq b ), thì tích phân sẽ trở thành:

Trục quay là trục x:

(A_ {x} = 2 pi int_ {a} ^ {b} y sqrt {1 + ( frac {dy} {dx}) ^ {2}} dx = 2 pi int_ {a} ^ {b} f (x) sqrt {1+ (f ‘(x)) ^ {2}} dx )

Trục quay là trục y ( (a leq y leq b )):

(A_ {y} = 2 pi int_ {a} ^ {b} x sqrt {1 + ( frac {dx} {dy}) ^ {2}} dy[latex]

Công thức tính thể tích khối tròn xoay

Quay quanh trục Ox

[latex]V_ {x} = pi int_ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) dx ).

Quay quanh trục Oy

(V_ {y} = 2 pi int_ {a} ^ {b} xf (x) dx )

Các ứng dụng của mặt xoay

Xoay mặt và thuộc tính Ứng dụng của nó được áp dụng trong nhiều lĩnh vực như Vật lý, toán học, kỹ thuật và xây dựng, .. Khi một đối tượng hình học được thiết kế bằng máy tính, diện tích bề mặt có thể được xác định từ các khối tròn xoay. mặt mà không cần dùng đến việc đo chiều dài và bán kính của vật thể đã thiết kế.

Trên đây là những kiến ​​thức cần thiết và bổ ích dành cho các em học sinh trong việc ôn tập chương trình môn Toán THPT. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì liên quan đến định nghĩa, công thức, tính chất và ứng dụng của mặt tròn xoay, hãy để lại bình luận bên dưới để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé!