Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 11. Vậy đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì? Làm thế nào để vẽ một đường vuông góc với một mặt phẳng? Bài giảng và bài tập đường vuông góc mặt phẳng lớp 11?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này!

Lý thuyết về đường vuông góc với mặt phẳng

Đường vuông góc với mặt phẳng là gì?

Một đường thẳng được cho là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó.

Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ((P) ) ta nói mặt phẳng ((P) ) vuông góc với d. Biểu tượng (d bot (P) )

Nếu đường thẳng (a ) không vuông góc với mặt phẳng ((P) ) thì góc giữa (a ) và hình chiếu của nó (a ‘) lên ((P) ) được gọi là góc giữa dòng (a ) và mặt phẳng ((P) )

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Một số tính chất của đường vuông góc với mặt phẳng

• Qua điểm (O ) ngoài đường thẳng (a ) chỉ có một mặt phẳng ((P) ) đi qua (O ) và vuông góc với (a )
• Qua điểm (O ) bên ngoài mặt phẳng ((P) ) chỉ có một đường thẳng (a ) đi qua (O ) và vuông góc với ((P) )
• Hai đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì song song với nhau

( left { begin {matrix} a bot (P) \ b bot (P) end {matrix} right. Rightarrow a song song b )

• Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

( left { begin {matrix} a bot (P) \ a bot (Q) end {matrix} right. Rightarrow (P) song song (Q) )

• Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau

( left { begin {matrix} a bot b \ (P) bot b end {matrix} right. Rightarrow a song song (P) )

Mối quan hệ giữa song song và vuông góc

Độ song song và độ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có mối quan hệ cụ thể sau:

Một số định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định lý ba đường thẳng vuông góc

Đường (a ) không vuông góc với mặt phẳng ((P) ) và (b ) là một đường trong ((P) ) thì điều kiện cần và đủ để (b bot a ) là (b ) vuông góc với hình chiếu (a ‘) của (a ) trên ((P) )

Tìm hiểu định nghĩa của phép chiếu vuông góc

Cách vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chúng ta cần vẽ một đường thẳng qua (O ) nằm bên ngoài mặt phẳng ((P) ) và vuông góc với ((P) )

Cách 1: Dựa vào định nghĩa

Tìm hình chiếu (O ‘) của (O ) trên ((P) ). Sau đó, đường (OO ‘) là đường để vẽ.

Cách 2: Qua đường trung gian

Giả sử đã có một dòng (a bot (P) ). Trong mặt phẳng chứa (O, a ), chúng ta vẽ một đường thẳng qua (O ) song song với (a ). Đó là đường để vẽ.

Ví dụ

Cho hình chóp (S.ABC ) với (SA bot (ABC) ). Gọi (D ) là trung điểm (BC ). Bên trên [/latex] SD [/latex] lấy điểm (M ) sao cho (DM = 2 SM ). Đường thẳng qua (M ) vuông góc với ((ABC) ) cắt ((ABC) ) tại (K ). Xác định vị trí (K )

Giải pháp

Trong mặt phẳng ((SAD) ) hãy xem xét ( Delta SAD )

Qua (M ) vẽ (MK song song SA ). sau đó

( frac {AK} {AD} = frac {SM} {SD} = frac {1} {3} )

Bởi vì ( left { begin {matrix} SA bot (ABC) \ SA song song MK end {matrix} right. Rightarrow MK bot (ABC) )

Vậy đường thẳng qua (M ) vuông góc với ((ABC) ) cắt ((ABC) ) tại (K ) sao cho ( frac {AK} {AD} = frac {1} {3} )

Các dạng bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh rằng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ((P) ) ta có thể sử dụng ba cách sau:

• Phương pháp 1: Chứng minh rằng (d ) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong ((P) )
• Phương pháp 2: Chứng minh rằng (d ) song song với đường thẳng (a ) mà (a bot (P) )
• Phương pháp 3: Chứng minh (d bot (Q) ) và ((Q) song song (P) )

Ví dụ:

Xét một hình chóp (S.ABCD ) có đáy là hình vuông (ABCD ) tâm (O ) và mặt bên (SA bot (ABCD) ). Gọi (H, K ) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (A ) lên các mặt (SB, SC ).

Chứng minh rằng (HK bot (SAC) )

Giải pháp:

Xem xét ( Delta SAD ) hình vuông tại (A ) với độ cao (AK )

Theo hệ thức lượng giác tam giác vuông ( Rightarrow SK.SD = SA ^ 2 )

Tương tự với ( Delta SAB Rightarrow SH.SB = SA ^ 2 )

( Rightarrow SK.SD = SH.SB )

Mặt khác ( Delta SAB = Delta SAD ) (cgc) ( Rightarrow SB = SD )

( Rightarrow SK = SH Rightarrow frac {SK} {SD} = frac {SH} {SB} )

Xem xét ( Delta SBD ) với ( frac {SK} {SD} = frac {SH} {SB} )

( Mũi tên phải HK song song BD ; ; ; ; ; ; (1) )

Mặt khác, chúng tôi có

(BD bot SA ) (do (SA bot (ABCD) ))

(BD bot AC ) (hai hình vuông chéo nhau)

( Rightarrow BD bot (SAC) ; ; ; ; ; ; (2) )

Từ ((1) (2) Rightarrow HK bot (SAC) )

Chứng minh rằng hai đường thẳng vuông góc

Để chứng minh rằng hai đường thẳng (a, b ) vuông góc với nhau, chúng ta có thể sử dụng hai cách sau

• Phương pháp 1: Tìm mặt phẳng ((P) ) chứa đường thẳng (b ) rồi chứng minh (a bot (P) ). Sau đó ( Rightarrow a bot b )
• Phương pháp 2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc.

Ví dụ:

Xét một hình chóp (S.ABC ) có đáy là tam giác vuông tại (A ) và (SA bot (ABC) ). Gọi (DỄ DÀNG [latex] là điểm đối xứng của [latex] B ) qua trung điểm (M ) của (AC ). Chứng minh rằng (CA bot SM )

Giải pháp

Chúng ta có:

(M ) là trung điểm (AC )

(M ) là trung điểm (BD )

( Rightarrow ABCD ) là một hình bình hành

( Rightarrow CD song song AB )

Cái nào (AB bot AC Rightarrow CD bot AC )

Cái nào (CD bot SA ) (do (SA bot (ABC) )

( Rightarrow CD bot (SAC) )

Cái nào (SM in (SAC) Rightarrow CD bot SM )

Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định và tính độ lớn của góc giữa đường thẳng (d ) và mặt phẳng ((P) ), chúng ta thực hiện các bước sau

• Bước 1: Tìm giao điểm (I = d cap (P) )
• Bước 2: Chọn một điểm bất kỳ (A trong d ) rồi chiếu (A ‘) lên mặt phẳng ((P) )
• Bước 3: Góc giữa (d ) và ((P) ) là góc ( widehat {AIA ‘} ). Để tính độ lớn của góc ( widehat {AIA ‘} ), chúng ta sử dụng các hệ số trong tam giác vuông (AIA’ )

Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABC ) có đáy (ABC ) là tam giác vuông với cạnh huyền (BC = a ). Biết rằng hình chiếu của (S ) lên ((ABC) ) là trung điểm của (BC ) và (SB = a ). Tính số đo của góc giữa (SA ) và ((ABC) )

Giải pháp

Hãy xem xét ( Delta SBC ) có

(M ) là trung điểm (BC )

(SM bot BC )

( Rightarrow Delta SBC ) tại (S )

Mà (SB = BC = a Rightarrow Delta SBC ) đều là

( Rightarrow SM = frac {a sqrt {3}} {2} )

Xét ( Delta ABC ) hình vuông tại (A ) trong đó (AM ) là trung bình của cạnh huyền (BC Rightarrow AM = frac {BC} {2} = frac {a} {2 } )

Xem xét ( Delta SMA ) hình vuông tại (M )

( tan widehat {SAM} = frac {SM} {AM} = frac { frac {a sqrt {3}} {2}} { frac {a} {2}} = sqrt { 3} )

( Rightarrow widehat {SAM} = 60 ^ { circle} )

Vì (M ) là hình chiếu của (S ) lên ((ABC) ) nên ( Mũi tên phải ) góc giữa (SA ) và ((ABC) ) là ( widehat {SAM} = 60 ^ { circle} )

Tìm thiết diện của mặt phẳng vuông góc với đường thẳng

Để xác định thiết diện của mặt phẳng (( alpha) ) đi qua (O ) vuông góc với đường thẳng (d ) với hình chóp, ta có thể làm theo hai cách sau

• Phương pháp 1: Xác định tất cả các đường vuông góc với (d ), sau đó (( alpha) ) sẽ song song hoặc chứa các đường thẳng này. Sau đó, chúng tôi chuyển đổi sang phần song song

• Phương pháp 2: Tạo hai đường (a, b bot d ) trong đó một đường đi qua điểm (O ). Khi đó mặt phẳng (( alpha) ) là mặt phẳng ((a, b) )

Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABC ) có đáy (ABC ) là tam giác đều với các cạnh (a ) và (SA = SB = SC = b ). Xét mặt phẳng (( alpha) ) đi qua (A ) và vuông góc với (SC ). Tính thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (( alpha) )

Giải pháp

Vì (SA = SB = SC Rightarrow ) nên hình chiếu của (S ) lên ((ABC) ) là tâm (O ) của ( Delta ABC )

Mặt khác, vì ( Delta ABC ) là chính quy, (O ) cũng là trực tâm của ( Delta ABC )

( Rightarrow OA bot BC )

Mà (SO bot BC ) bởi vì (SO bot (ABC) )

( Rightarrow BC bot (SAO) )

( Rightarrow BC bot SA )

Trong ((SAC) ) đặt (CI bot SA ).

( Rightarrow (BCI) bot SA ) nên mặt cắt bắt buộc là ( Delta BCI )

Bởi vì ( Delta SAB = Delta SAC ) (ccc) ( Rightarrow IB = IC ) (là dòng chiều cao (SC ))

( Rightarrow Delta IBC ) tại (I )

Coi ( Delta SAC ) cân bằng tại (S ) với độ cao (CI ) và (SA = SB = b; AC = a )

Lấy (H ) làm trung điểm (AC Rightarrow SH bot AC )

(IC = AC. Sin widehat {SAC} = AC. Frac {SH} {SA} = a. Frac { sqrt {b ^ 2- frac {a ^ 2} {4}}} { b} = frac {a sqrt {4b ^ 2-a ^ 2}} {2b} )

Coi ( Delta IBC ) cân bằng tại (I ) trong đó (M ) là trung điểm (BC )

( Rightarrow IM bot BC )

(IM = sqrt {IC ^ 2-MC ^ 2} = sqrt { frac {a ^ 2 (4b ^ 2-a ^ 2)} {4b ^ 2} – frac {a ^ 2} {4 }} = frac {a sqrt {3b ^ 2-a ^ 2}} {2b} )

Vì vậy, diện tích mặt cắt ngang (S_ {IBC} = frac {IM.BC} {2} = frac {a ^ 2 sqrt {3b ^ 2-a ^ 2}} {4b} )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết, các dạng bài tập cũng như cách vẽ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chuyên đề Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng lớp 11. Chúc các bạn luôn học tốt!

Xem nội dung chi tiết bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)
Xem thêm >>> Giới hạn sĩ số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng Toán

Xem thêm >>> Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Giải pháp

Xem thêm >>> Vectơ trong không gian lớp 11 và Các dạng toán về vectơ trong không gian