Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác và bài tập có lời giải từ A-Z

Ngày nay, có rất nhiều học sinh không hiểu định nghĩa Đường trung tuyến là gì?, tính chất và công thức tính đường trung tuyến trong trọng tâm tam giác? Chính vì vậy trường THPT CHUYÊN LAM SƠN chia sẻ lý Đường trung tuyến trong tam giác là gì?? Thuộc tính của đường trung tuyến và công thức tính đường trung bình trong tam giác Kèm theo đó là các bài tập có lời giải chi tiết cho các bạn tham khảo

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung trực của đoạn thẳng là đoạn thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.

Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng từ đỉnh của tam giác đến trung điểm của các cạnh đối diện. Mỗi tam giác có 3 trung tuyến.

Ví dụ: Ví dụ: Cho tam giác ABC, trong đó D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC. Từ đó ta có các đường thẳng BD, AF, CE là trung tuyến của tam giác ABC.

Tính chất của trung tuyến trong tam giác

Trong một tam giác bình thường, vuông và cân, tính chất của các trung tuyến là khác nhau

Tính chất của trung tuyến trong tam giác thông thường

• Ba trung tuyến của một tam giác hội tụ tại một điểm được gọi là trọng tâm.
• Khoảng cách từ tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng 2/3 đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.
• Khoảng cách từ tâm đến trung điểm của mỗi cạnh bằng 1/3 đường trung trực ứng với điểm đó.

Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác vuông

Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó tam giác có một góc bằng 90o và hai cạnh tạo thành góc đó vuông góc với nhau. Do đó, đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có tất cả các tính chất của đường trung bình của tam giác.

Định lý 1: Đường trung tuyến trong tam giác vuông ứng với cạnh huyền là nửa cạnh huyền

Định lý 2: Nếu một tam giác có trung tuyến tương ứng với một cạnh bằng nửa độ dài cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

Tính chất của trung tuyến trong tam giác cân và tam giác đều

• Trong một tam giác cân, tam giác đều, đường trung tuyến của cạnh đáy vuông góc với cạnh đó và chia tam giác đó thành hai tam giác đồng dạng.

Công thức tính đường trung bình trong tam giác

Công thức tính độ dài đường trung bình của một cạnh bất kỳ bằng căn bậc hai của một nửa tổng bình phương của hai cạnh liền kề trừ đi một phần tư số bình phương của cạnh đối diện.

Trong đó:

• a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác
• m_Mộtm_bm_C lần lượt là các trung tuyến trong tam giác

Tìm hiểu thêm:

Bài tập tính đường trung bình trong tam giác có lời giải

Ví dụ 1: Cho ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = 17cm, BC = 16cm. Tiền vệ AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính độ dài AM.

Câu trả lời:

Một. Ta có AM là trung tuyến ABC nên MB = MC

Mặt khác ABC cân tại A

⇒ AM vừa là trung trực vừa là đường cao

Vậy AM BC

b. Chúng ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông cân tại US

Áp dụng Định lý Pitago ta có:

AC² = AM² + MC² 17² = AM² + 8² LÀ² = 17²– số 8²= 225 ⇒ AM = 15Cm.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, các trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

Một. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.

Câu trả lời

Một. Ta có BD là trung tuyến của tam giác ABC

CE là trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC

Vì AH đi qua G nên AH là trung tuyến của tam giác ABC

HB = HC

Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta có IA = IG nên CI là trung tuyến của tam giác AGC (1)

Ta lại có KG = KC nên AK là trung tuyến của tam giác AGC (2)

DG là trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

Ví dụ 3: Cho ABC là tam giác có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tìm độ dài các trung tuyến của tam giác ABC.

Câu trả lời:

Gọi độ dài đường trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; MC.

Áp dụng công thức trung vị ta có:

Vì độ dài của trung tuyến (là độ dài của đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1 / 3AC. Tia BE cắt CD tại M. Chứng minh:

a) M là trung điểm của CD
b) AM = 12BC.

a, Xét: BDC có AB = AD nên AC là trung tuyến của tam giác BCD

Mặt khác:

AE = 1 / 3AC ⇒ CE = 2 / 3AC.

⇒ E là tâm BCD

M là giao điểm của BE và CD

Vậy BM là trung trực BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b, A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

⇒ AM là đường trung bình của BDC

⇒ AM = 1 / 2BC

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về trung vị và công thức tính trung vị trong tam giác giúp các bạn hệ thống hóa kiến ​​thức để vận dụng vào làm bài tập một cách nhanh nhất.