Công thức, Điều kiện và Bài tập cực trị của hàm số bậc 4

Cực trị của hàm số bậc hai là một trong những chuyên đề trọng tâm trong chương trình môn Toán lớp 12 và kì thi THPT Quốc gia. Vậy điểm cực trị của hàm số bậc hai là gì? Lý thuyết và Bài tập về cực trị của hàm số bậc hai? Công thức cực trị của hàm số bậc hai?… Trong bài viết sau, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Điểm cực trị của hàm số là gì?

Cho hàm (y = f (x) ) liên tục và được xác định trên khoảng ((a; b) ) và điểm (x_0 trong (a; b) )

• Hàm (f (x) ) đạt cực đại tại (x_0 ) nếu tồn tại một số (h> 0 ) sao cho (f (x)
• Hàm (f (x) ) có cực tiểu tại (x_0 ) nếu tồn tại một số (h> 0 ) sao cho (f (x)> f (x_0) ) cho tất cả ( x in (x_0-h; x_0 + h) ) và (x neq x_0 )

Định lý:

Cho hàm (y = f (x) ) liên tục, xác định và có đạo hàm cấp hai trên khoảng ((a; b) ). sau đó

• Nếu ( left { begin {matrix} f ‘(x_0) = 0 \ f ”(x_0)> 0 end {matrix} right Rightarrow ) (x_0 ) là mức tối thiểu của hàm (f )
• Nếu ( left { begin {matrix} f ‘(x_0) = 0 \ f ”(x_0) <0 end {matrix} right Rightarrow ) (x_0 ) là điểm tối đa của hàm (f )

Xem chi tiết >>> Điểm cực trị của hàm số là gì?

Cực trị của hàm số bậc hai?

Định nghĩa cực trị của hàm số bậc hai

Đối với hàm bậc hai: (y = f (x) = ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e ) với (a neq 0 )

Đạo hàm (y ‘= 4ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 2cx + d )

Hàm (y = f (x) ) có thể có một hoặc ba cực trị.

Điểm cực trị là điểm mà đạo hàm (y ‘) đổi dấu

Số điểm cực trị của hàm số bậc 4

Xét đạo hàm (y ‘= 4ax ^ 3 + 3bx ^ 2 + 3cx + d )

• Nếu (y ‘= 0 ) có đúng 1 nghiệm thì hàm (y = f (x) ) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu).
• Nếu (y ‘= 0 ) có 2 nghiệm (gồm 1 nghiệm đơn giản, 1 nghiệm nguyên kép) thì hàm (y = f (x) ) có đúng 1 cực trị (có thể là cực đại hoặc cực tiểu) . .
• Nếu (y ‘= 0 ) có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số (y = f (x) ) có 3 cực trị (gồm cực đại và cực tiểu).

Ví dụ:

Chứng minh rằng hàm (f (x) = x ^ 4 + mx ^ 3 + mx ^ 2 + mx + 1 ) không thể có cả cực đại và cực tiểu với mọi (m in mathbb {R} )

Giải pháp:

Để chứng minh rằng một hàm số đã cho không đồng thời có cực đại và cực tiểu, ta chứng minh rằng hàm số chỉ có một cực trị với mọi (m in mathbb {R} )

Xét đạo hàm (f ‘(x) = 4x ^ 3 + m (3x ^ 2 + 2x + 1) )

Xét phương trình (f ‘(x) = 0 Mũi tên trái 4x ^ 3 + m (3x ^ 2 + 2x + 1) = 0 )

( Leftrightarrow frac {4x ^ 3} {3x ^ 2 + 2x + 1} + m = 0 )

Xét hàm (g (x) = frac {4x ^ 3} {3x ^ 2 + 2x + 1} + m )

Chúng ta có:

(g ‘(x) = frac {12x ^ 2 (3x ^ 2 + 2x + 1) -4x ^ 3 (6x + 2)} {(3x ^ 2 + 2x + 1) ^ 2} )

(= frac {4x ^ 2 (3x ^ 2 + 4x + 3)} {(3x ^ 2 + 2x + 1) ^ 2} geq 0 ; ; ; ; forall x in mathbb {R} )

Hàm ( Rightarrow ) (g (x) ) hiệp biến

( Rightarrow ) phương trình (g (x) = 0 ) có đúng 1 nghiệm duy nhất

Vậy phương trình (f ‘(x) = 0 ) có đúng 1 nghiệm duy nhất

( Rightarrow ) hàm (f (x) ) chỉ có một điểm cực trị

Cực trị của hàm số bậc hai là bậc hai

Định nghĩa của một hàm bậc hai là gì?

Hàm số bậc hai là hàm bậc hai có dạng:

(y = f (x) = ax ^ 4 + bx ^ 2 + c )

Như vậy có thể coi đây là một hàm bậc hai với ẩn (x ^ 2 )

Điều kiện cực trị của hàm số bậc hai là bậc hai

Ví dụ:

Cho hàm số (f (x) = 3mx ^ 4 + (m-2) x ^ 2 + m-1 ). Tìm (m ) để hàm số đã cho có ba điểm cực trị

Giải pháp:

Để hàm (f (x) ) có 3 điểm cực trị thì

(3m (m-2) <0 )

( Leftrightarrow m in (0; 2) )

Công thức cực trị của hàm số bậc hai là bậc hai

Xét hàm số vuông (f (x) = ax ^ 4 + bx ^ 2 + c ) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân (ABC ) đỉnh (A )

Tọa độ của các đỉnh:

• (A (0; c) )
• (B (- sqrt { frac {-b} {2a}}; – frac { Delta} {4a}) )
• (C ( sqrt { frac {-b} {2a}}; – x frac { Delta} {4a}) )

Để giải nhanh các bài toán về hàm số bậc hai trong các bài toán trắc nghiệm, ta có các công thức sau:

( cos widehat {BAC} = frac {b ^ 3 + 8a} {b ^ 3-8a} )

Khu vực ( Delta ABC = frac {b ^ 2} {4 | a |}. Sqrt {- frac {b} {2a}} )

Ví dụ:

Cho hàm (f (x) = x ^ 4-2mx ^ 2 +3 ). Tìm (m ) để đồ thị của hàm số (f (x) ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh bên bằng 2 lần độ dài đáy

Giải pháp:

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì (-2m <0 Leftrightarrow m >0 )

Theo định lý Cosin, ta có:

(BC ^ 2 = AB ^ 2 + AC ^ 2-2AB.AC. Cos widehat {BAC} )

( Leftrightarrow cos widehat {BAC} = frac {AB ^ 2 + AC ^ 2-BC ^ 2} {2AB.AC} )

Bởi vì ( Delta ABC ) cân bằng tại (A Rightarrow AB = AC )

Theo đề bài ta có (AB = 2BC )

Tôi có thể thay thế

( cos widehat {BAC} = frac {7} {8} )

Áp dụng công thức ( cos widehat {BAC} ) chúng ta có:

( frac {7} {8} = cos widehat {BAC} = frac {b ^ 3 + 8a} {b ^ 3 + 8a} = frac {-8m ^ 3 + 8} {- 8m ^ 3-8} )

( Leftrightarrow m ^ 3 = 15 Leftrightarrow m = sqrt[3]{15} ) (hài lòng)

Vì vậy (m = sqrt[3]{15} )

Bài tập về cực trị của hàm số bậc hai đồng dư

Bài 1:

Tìm (m ) để đồ thị của hàm số (f (x) = 2x ^ 4-m ^ 2x ^ 2 + m ^ 2-1 ) có 3 điểm cực trị (A, B, C ) cho bốn điểm (O, A, B, C ) là 4 đỉnh của hình thoi

A. (m = pm sqrt {2} )

B. (m = pm sqrt {3} )

C. (m = chiều 2 )

D. (m = chiều 3 )

( Rightarrow A )

Bài 2:

Tìm (m ) để đồ thị của hàm số (f (x) = x ^ 4-2m ^ 2x ^ 2 + m ^ 4 + 1 ) có 3 điểm cực trị (A, B, C ) cho bốn điểm (O, A, B, C ) nằm trên cùng một đường tròn

A. (m = pm 1 )

B. (m = chiều 2 )

C. (m = 1 )

D. (m = -1 )

( Rightarrow A )

Bài 3:

Tìm (m ) để đồ thị của hàm số (f (x) = x ^ 4-2mx ^ 2 + m ) có 3 điểm cực trị (A, B, C ) tạo thành một tam giác có bán kính nội tiếp vòng tròn lớn hơn 1

A. (m in (2; + infty) )

B. (m in (-2; + infty) )

C. (m in (- infty; 2) )

D. (m in (- infty; -2) )

( Rightarrow A )

Bài 4:

Tìm (m ) để đồ thị của hàm số (f (x) = x ^ 4-2x ^ 2 + m + 2 ) có 3 điểm cực trị (A, B, C ) tạo thành một tam giác với Tiêu điểm là (O )

A. (m = – frac {2} {3} )

B. (m = – frac {4} {3} )

C. (m = frac {2} {3} )

D. (m = frac {4} {3} )

( Rightarrow B )

Bài 5:

Tìm (m ) để đồ thị của hàm số (f (x) = x ^ 4-2 (1-m ^ 2) x ^ 2 + m + 1 ) có 3 điểm cực trị (A, B , C ) tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất

A. (m = -1 )

B. (m = 1 )

C. (m = 0 )

D. (m = 2 )

( Rightarrow C )

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã giúp các bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chủ đề cực trị của hàm số bậc hai cũng như cách giải. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị của hàm số bậc hai. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!

Xem thêm >>> Chuyên đề về cực trị của hàm số bậc 3

Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị