Chuyên đề hệ thức Viet và ứng dụng: Lý thuyết và Bài tập

Hệ thức Việt và ứng dụng là một trong những chuyên đề cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình toán lớp 9 và kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Vậy chính xác thì hệ thống Việt là gì? Các ứng dụng của hệ thống Việt là gì? Làm thế nào để giải bất phương trình Viet?… Trong nội dung bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Hệ thống Việt là gì?

Quan hệ Viet, do nhà toán học François Viète phát hiện, cho thấy mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của đa thức. Trong chương phổ biến của tôi, quan hệ của Việt đối với phương trình bậc hai thường được sử dụng nhiều nhất. Hệ thống Việt được nêu như sau:

Để phương trình bậc hai (2: ) (ax ^ 2 + bx + c ) có hai nghiệm (x_1; x_2 ). Sau đó :

( left { begin {matrix} x_1 + x_2 = – frac {b} {a} \ x_1.x_2 = frac {c} {a} end {matrix} right. )

Cách giải quyết hệ thống Việt

Trong các bài toán áp dụng quan hệ Viet, chúng ta cần biến đổi các đại lượng cần thiết của bài toán thành dạng ( left { begin {matrix} S = x_1 + x_2 \ P = x_1.x_2 end {matrix} right. ) để quan hệ Việt có thể được áp dụng. Dưới đây là một số phép biến đổi cơ bản:

• (x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 = S ^ 2-2P )
• ((x_1-x_2) ^ 2 = S ^ 2-4P )
• (x_1 ^ 2-x_2 ^ 2 = S. sqrt {S ^ 2-4P} )
• (x_1 ^ 3 + x_2 ^ 3 = S (S ^ 2-3P) )
• ( frac {1} {x_1} + frac {1} {x_2} = frac {S} {P} )

Ứng dụng hệ thống Việt

Nghiệm của phương trình

Thiết lập phương trình bậc hai

Tìm mối liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình

Tìm hai số có tổng và tích

Vấn đề: Tìm hai số có tổng là (S ) và tích của chúng là (P )

Theo định lý Viet, hai số cần tìm là nghiệm của phương trình bậc (2 ):

(x ^ 2-Sx + P )

***Chú ý: Điều kiện để tồn tại hai số đó là (S ^ 2-4P geq 0 )

Ví dụ:

Tìm hai số có tổng là (27 ) và tích là (180 )

Giải pháp:

Theo định lí Viet, hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình

(x ^ 2-27x + 180 = 0 )

( Leftrightarrow (x-15) (x-12) = 0 )

( Leftrightarrow left[begin{array}{l}x=15\x=12end{array}right.)

Vậy hai số cần tìm là ( 15;12 )

Tính giá trị của các biểu thức nghiệm

Chúng ta sử dụng các biến đổi nêu trên để quy biểu thức về dạng ( S,P ) rồi từ đó tính giá trị của biểu thức 

Ví dụ 3:

Cho phương trình ( x^2-(m+2)x+(m+3)^2 ) có hai nghiệm phân biệt ( x_1;x_2 )

Chứng minh rằng với mọi giá trị của ( m ) thỏa mãn phương trình đã cho có nghiệm thì giá trị của biểu thức

(A=frac{x_1}{x_2+1}+frac{x_2}{x_1+1}) luôn không đổi 

Cách giải:

Áp dụng hệ thức Viet ta có :

(left{begin{matrix} S=x_1+x_2=m+2\ P=x_1.x_2=(m+3)^2 end{matrix}right.)

Mặt khác

(A=frac{x_1^2+x_2^2+x_1+x_2}{x_1.x_2+x_1+x_2+1}=frac{S^2+S-2P}{S+P+1})

Thay vào ta được

(A=frac{(m+2)^2+m+2-2(m+3)^2}{(m+3)^2+m+2+1})

(=-frac{m^2+7m+12}{m^2+7m+12}=-1)

Vậy (A=-1)

Tìm giá trị tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Bài toán: Cho phương trình bậc hai : ( ax^2+bx+c ) với ( a,b,c ) là các hệ số chưa tham số ( m ) . Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm ( x_1;x_2 ) thỏa mãn hệ thức ( K )

Các bước giải:

• Bước 1: Tìm điều kiện của ( m ) để phương trình có hai nghiệm
• Bước 2: Biến đổi ( K ) về dạng ( S, P ) với (left{begin{matrix} S=x_1+x_2\P=x_1.x_2 end{matrix}right.)
• Bước 3: Áp dụng hệ thức Viet để biến đổi ( K ) về phương trình ẩn ( m ) rồi giải ra tìm ( m )

Ví dụ:

Cho phương trình : ( x^2 – (2m+1)x+m^2+2 =0 ) . Tìm ( m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ( x_1;x_2 ) thỏa mãn

(3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0)

Cách giải:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

(Delta = (2m+1)^2-4(m^2+2)>0)

(Leftrightarrow 4m-7 >0 Leftrightarrow m >frac{7}{4} hspace{1cm} (1))

Áp dụng đinh lý Viet ta có

(left{begin{matrix} x_1+x_2 =2m+1\x_1.x_2=m^2+2 end{matrix}right.)

Thay vào ta được :

(3x_1x_2-5(x_1+x_2)+7=0 Leftrightarrow 3(m^2+2)-5(2m+1)+7=0)

(Leftrightarrow 3m^2-10m+8=0)

(Leftrightarrow (3m-4)(m-2)=0 Leftrightarrow left[begin{array}{l}m=2\m=frac{4}{3}end{array}right.)

Kết hợp với ( (1) ) ta được ( m=2 )

Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Cho phương trình bậc hai ( ax^2+bx+c ) có hai nghiệm phân biệt ( x_1;x_2 ). Theo định lý Viet có :

(left{begin{matrix} S=x_1+x_2=-frac{b}{a}\ P=x_1x_2=frac{c}{a} end{matrix}right.)

Khi đó:

• ( x_1; x_2 ) cùng dương (Leftrightarrow left{begin{matrix} S=-frac{b}{a}>0\ P=frac{c}{a}>0 end{matrix}right.)
• ( x_1; x_2 ) cùng âm (Leftrightarrow left{begin{matrix} S=-frac{b}{a}<0\ P=frac{c}{a}>0 end{matrix}right.)
• ( x_1; x_2 ) trái dấu (Leftrightarrow P=x_1.x_2<0)

Ví dụ:

Tìm ( m ) để phương trình ( (m-1)x^2+2x+m =0 ) có ít nhất một nghiệm không âm

Cách giải:

Xét ( m=1 ) phương trình đã cho trở thành

(2x+1=0Leftrightarrow x=-frac{1}{2}) ( loại )

Xét (m neq 1). Để phương trình có nghiệm thì

(Delta’ =1-m(m-1) geq 0)

(Leftrightarrow m^2-m-1 leq 0)

(Leftrightarrow m in [frac{1-sqrt{5}}{2};frac{1+sqrt{5}}{2}] hspace {1 cm} (1) )

Theo định lý Viet:

( left { begin {matrix} x_1 + x_2 = – frac {2} {m-1} \ x_1x_2 = frac {m} {m-1} end {matrix} right. )

Để phương trình có ít nhất một nghiệm không âm thì

(bên trái[begin{array}{l}x_1x_2 leq 0 \ left{begin{matrix} x_1x_2>0\ x_1+x_2 leq 0 end{matrix}right.end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} -frac{2}{m-1} leq 0 \ left{begin{matrix} -frac{2}{m-1}>0\ frac{m}{m-1} leq 0 end{matrix}right.end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} m-1 > 0 \ left{begin{matrix} m-1 <0 \ m in [0;1) end{matrix}right.end{array}right.)

(Leftrightarrow left[begin{array}{l} m geq 1 \ m in [0;1) end{array}right.)

(Leftrightarrow mgeq 0 | mneq 1)

Kết hợp với ( (1) ) thì ta có (m in [0;frac{1+sqrt{5}}{2}])

Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức có chứa nghiệm

Hệ thống Việt và các ứng dụng tiên tiến

Tìm cực trị của biểu thức chứa nghiệm

Cách làm: Ta rút biểu thức chứa nghiệm thành biểu thức có tham số bằng định lý Viet rồi tìm ( min, max ) của biểu thức có chứa tham số đó

Ví dụ:

Cho phương trình (x ^ 2 + (m + 1) x + m = 0 ). Tìm (m ) để phương trình đã cho có hai nghiệm (x_1; x_2 ) sao cho biểu thức (A = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 ) có giá trị nhỏ nhất.

Giải pháp:

Để phương trình đã cho có hai nghiệm thì

( Delta = (m + 1) ^ 2-4 phút geq 0 )

( Leftrightarrow (m-1) ^ 2 geq 0 ). Điều này đúng với bất kỳ (m in mathbb {R} )

Áp dụng định lý Viet ta có

( left { begin {matrix} x_1 + x_2 = – (m + 1) \ x_1x_2 = m end {matrix} right. )

Thay vào đó chúng tôi có:

(A = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 = (x_1 + x_2) ^ 2-2x_1x_2 )

(= (m + 1) ^ 2-2m = m ^ 2 + 1 geq 1 )

Vì vậy (A _ { min} = 1 Leftrightarrow m = 0 )

Nhảy Việt – Vieta Jumping

Đây là phương pháp giải các bài toán số học trong các kỳ thi HSG quốc gia và quốc tế. Ý tưởng của phương pháp là đối với phương trình có nghiệm nguyên bậc hai (2 ) ẩn (a, b ) thì ta xét [/latex] Một [/latex] là một nghiệm của phương trình ẩn [/latex] b [/latex]. Áp dụng định lý Viet, phương trình có nghiệm khác (a_1 ). Do đó, phương trình có một cặp nghiệm ((a_1; b) ). Lặp lại các bước trên sẽ tạo ra một cặp nghiệm mới ((a_1; b_1); (a_2; b_2) ). Vì từ ((a; b) rightarrow (a_1; b_1) ) giống như vậy nên chúng tôi gọi phương thức này là “Viet jump”.

Ví dụ:

Chứng minh rằng nếu (a, b ) là các số nguyên dương sao cho (k = frac {a ^ 2 + b ^ 2} {ab-1} ) là một số nguyên thì (k = 5 )

Giải pháp:

Trong tất cả các cặp số ((a, b) ) sao cho (k ) là số nguyên, ta chọn cặp ((a, b) ) sao cho (a + b ) nhỏ nhất.

Xét phương trình: (k = frac {x ^ 2 + b ^ 2} {xb-1} Mũi tên trái x ^ 2-kbx + b ^ 2 + k = 0 ; ; ; ; ; ;

)

Rõ ràng, phương trình (

) nhận một giải pháp là (a, ) và gọi giải pháp kia (x_0 ). Theo định lý Viet, ta có:

• ( begin {case} x_0 + a = bk \ x_0.a = b ^ 2 + k end {case} )

Rõ ràng, (x_0 in mathbb {Z ^ +} )[begin{array}{l}a-1=1a-1=2end{array}right)[begin{array}{l}a-1=1a-1=2end{array}right)

Nếu trong hai số (a; b ) có một số bằng (1 ) giả sử (b = 1 ), thì: (k = frac {a ^ 2 + 1} {a-1} = a + 1 + frac {2} {a-1} in mathbb {Z} )[begin{array}{l}a=2a=3end{array}right)[begin{array}{l}a=2a=3end{array}right)

( Rightarrow (a-1) ; | ; 2 Rightarrow left[begin{array}{l}a-1=1\a-1=2end{array}right)[begin{array}{l}a-1=1a-1=2end{array}right)

• ( Leftrightarrow left[begin{array}{l}a=2\a=3end{array}right)[begin{array}{l}a=2a=3end{array}right)

( Rightarrow k = 5 )

Nếu ( min (a, b)> 1 ) thì thực hiện: (b ^ 2-kb ^ 2 + b ^ 2 + k> 0 Leftrightarrow k (1-b ^ 2) + 2b ^ 2> 0 )

Vì (b> 1 Rightarrow b ^ 2-1> 0 Rightarrow b geq 2 ), bây giờ chúng ta có:

(k < frac {2b ^ 2} {b ^ 2-1} = frac {2} {1- frac {1} {b ^ 2}} le frac {2} {1- frac {1} {4}} = frac {8} {3} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; (1) )

Mặt khác, chúng tôi có:

( frac {1} {k} = frac {ab-1} {a ^ 2 + b ^ 2} le frac {ab-1} {2ab} = frac {1} {2} – frac {1} {ab} = frac {1} {2} Mũi tên trái k> 2 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; (2) )

Từ ((1) (2) ), chúng tôi suy ra một mâu thuẫn.