Chuyên đề các dạng Bài tập Nguyên hàm cơ bản và nâng cao

Nguyên hàm là một dạng toán quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Vậy nguyên thủy là gì? Cách giải các dạng bài tập về nguyên hàm cơ bản và nâng cao? Phương pháp làm bài nguyên thủy chống Casio?… Trong bài viết dưới đây, Tip.edu.vn sẽ giúp bạn tổng hợp kiến ​​thức về chủ đề này !.

Hàm nguyên thủy là gì?

Cho Constan (f ) xác định trên (K ). Hàm (F ) được gọi là chức năng nguyên thủy trong số (f ) if (F ‘(x) = f (x) ) cho mọi (x ) trong (K )

***Chú ý: Giả sử hàm (F ) là một nguyên hàm của hàm (f ) on (K ), thì hàm (y = F (x) + C ) cũng là một nguyên hàm của (f ) trên (K ) cho mọi hằng số (C )

Xem chi tiết >>> Nguyên hàm là gì và Bảng công thức Nguyên hàm của các hàm cơ bản

Công thức nguyên thủy cơ bản

Dưới đây là một số công thức nguyên thủy cơ bản thường được sử dụng:

1, ( int 0dx = C )

2, ( int dx = x + C )

3, ( int x ^ {k} dx = frac {x ^ {k + 1}} {k + 1} + C ) với (k neq 1 )

4, ( int frac {1} {x} dx = ln | x | + C )

5, ( int a ^ {x} dx = frac {a ^ {x}} { ln a} + C ) với (0

6, trong đó (k ) là một hằng số khác 0:

a, ( int sin kx hspace {2mm} dx = frac {- cos kx} {k} + C )

b, ( int cos kx hspace {2mm} dx = frac { sin kx} {k} + C )

c, ( int e ^ {kx} dx = frac {e ^ {kx}} {k} + C )

7,

a, ( int frac {1} { cos ^ {2} x} dx = tan x + C )

b, ( int frac {1} { sin ^ {2} x} dx = – cot x + C )

Các dạng bài tập nguyên hàm cơ bản và cách giải

Bài tập nguyên hàm từng phần có lời giải

Định lý về nguyên hàm từng phần

Chúng tôi sử dụng công thức nguyên thủy từng phần sau:

Nếu (u, v ) là một hàm có đạo hàm và liên tục trên (K ) thì

( int u (x) v ‘(x) dx = u (x) v (x) dx- int u’ (x) v (x) dx )

Hay viết tắt là:

( int udv = uv- int vdu )

Ý tưởng của phương pháp là từ tích phân khó ( int u (x) v ‘(x) dx ), chúng ta giảm tích phân ( int u’ (x) v (x) dx ). Dưới đây là một phần bài tập nguyên hàm có lời giải giúp các bạn hiểu rõ hơn về cách sử dụng phương pháp này

Ví dụ:

Tìm giá trị ban đầu (F = int frac {dx} { sqrt {2x-1} +4} )

Giải pháp:

Chúng ta có

( int frac {dx} { sqrt {2x-1} +4} = int frac { sqrt {2x-1}} { sqrt {2x-1} ( sqrt {2x-1} +4)} dx )

(= int frac {dx} { sqrt {2x-1}}. frac { sqrt {2x-1}} { sqrt {2x-1} +4} )

Đặt ( sqrt {2x-1} = t Rightarrow dt = frac {dx} { sqrt {2x-1}} )

( Rightarrow F = int frac {t} {t + 4} dt )

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần, chúng ta có

( Rightarrow F = int frac {t} {t + 4} dt = int t. Ln ‘(t + 4) dt = t. Ln (t + 4) – int ln (t + 4 ) dt )

Vì ( int ln x ; dx = x ln xx ) nên

( Rightarrow F = t. Ln (t + 4) – (t + 4) .ln (t + 4) + (t + 4) + C )

(= – 4. Ln (t + 4) + t + C )

Thay thế ( sqrt {2x-1} = t ) vào, chúng tôi nhận được

(F = sqrt {2x-1} -4 ln ( sqrt {2x-1} +4) + C )

Một số dạng toán nguyên hàm từng phần

Bài tập số nguyên lượng giác có lời giải

Ở dạng bài này, chúng ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác và các công thức nguyên lượng giác để tính toán.

Phương trình lượng giác thường gặp

( sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 )

( sin 2x = 2 sin x cos x )

( cos 2x = 2 cos ^ 2 x-1 )

( tan 2x = frac {2 tan x} {1- tan ^ 2 x} )

Đạo hàm của các hàm lượng giác

( sin’x = cos x )

( cos ‘x = – sin x )

( tan’x = frac {1} { cos ^ 2x} )

( cot’x = frac {-1} { sin ^ 2x} )

Nguyên hàm lượng giác

Các dạng bài tập về số nguyên lượng giác

Ví dụ:

Tính giá trị nguyên thủy (I = int frac {dx} {3 cos x + 4 sin x + 3} )

Giải pháp

Đặt (t = tan frac {x} {2} Rightarrow left { begin {matrix} dx = frac {2dt} {t ^ 2 + 1} \ sin x = frac {2t } {t ^ 2 + 1} \ cos x = frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} end {matrix} right. )

Tôi có thể thay thế

(I = int frac { frac {2dt} {t ^ 2 + 1}} {3 frac {1-t ^ 2} {t ^ 2 + 1} +4 frac {2t} {t ^ 2 + 1} +3} = int frac {2dt} {3-3t ^ 2 + 8t + 3t ^ 2 + 3} )

(= int frac {2dt} {8t + 6} = frac {1} {4} int frac {d (8t + 6)} {8t + 6} = frac {1} {4} . | ln (8t + 6) | + C )

Thay thế (t = tan frac {x} {2} ) chúng ta nhận được

(I = frac { ln (8 tan frac {x} {2} +6)} {4} + C )

Bài tập về nguyên hàm để thay đổi các biến

Phương pháp biến đổi biến được áp dụng rất phổ biến trong các bài toán về nguyên hàm và tích phân.

Xem chi tiết >>> Phương pháp chuyển đổi các biến trong Nguyên thủy và Tích phân

Một số bài tập về nguyên hàm chống Casio

Đây là các dạng bài tập nguyên hàm nâng cao thường xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia nhằm hạn chế việc sử dụng máy tính bỏ túi nhằm nâng cao tư duy cho học sinh. Dưới đây là một số dạng bài tập nguyên hàm có lời giải chống Casio

Dạng 1: Tích hệ số với mẫu của dạng sản phẩm

Vấn đề: Chúng ta cần tìm nguyên hàm ( int frac {A (x)} {f_1 (x) .f_2 (x)… f_n (x)} dx ) với (f_i (x), A (x) ) là các đa thức.

Ý tưởng chúng tôi sẽ phân tích

( frac {A (x)} {f_1 (x) .f_2 (x)… f_n (x)} = frac {a_1} {f_1 (x)} + frac {a_2} {f_2 (x)} +… + Frac {a_n} {f_n (x)} )

Sau đó tìm nguyên hàm của mỗi phân số ( frac {a_i} {f_i (x)} )

Ví dụ:

Giả sử nguyên hàm (I = int frac {3x ^ 2 + 3x + 5} {x ^ 3-3x + 2} dx = frac {a} {x-1} + b ln | x-1 | + c ln | x + 2 | + C )

Tính (a + b + c )

Giải pháp:

Chúng ta có:

(x ^ 3-3x + 2 = (x-1) ^ 2 (x + 2) )

( Rightarrow frac {3x ^ 2 + 3x + 5} {x ^ 3-3x + 2} ) sẽ phân tích cú pháp thành ( frac {m} {(x-1) ^ 2} + frac {n } {x-1} + frac {p} {x + 2} )

Chúng ta có:

( frac {m} {(x-1) ^ 2} + frac {n} {x-1} + frac {p} {x + 2} = frac {m (x + 2) + n (x ^ 2 + x-2) + p (x ^ 2-2x + 1)} {(x-1) ^ 2 (x-2)} )

(= frac {(n + p) x ^ 2 + (m + n-2p) x + (2m-2n + p)} {(x-1) ^ 2 (x-2)} )

Hệ số đồng nhất ta có:

( left { begin {matrix} n + p = 3 \ m + n-2p = 3 \ 2m-2n + p = 5 end {matrix} right. )

Giải phương trình chúng ta nhận được ( left { begin {matrix} m = frac {11} {3} \ n = frac {16} 9 {} \ p = frac {11} {9} end {matrix} right. )

Vì vậy, chúng tôi nhận được:

(I = int ( frac {11} {3 (x-1) ^ 2} + frac {16} {9 (x-1)} + frac {11} {9 (x + 2)} ) dx )

(= – frac {11} {3}. frac {1} {x-1} + frac {16} {9} ln | x-1 | + frac {11} {9} ln | x + 2 | )

Vì vậy (a = frac {-11} {3}; b = frac {16} {9}; c = frac {11} {9} )

( Rightarrow a + b + c = – frac {2} {3} )

Loại 2: Nhảy sàn

Đây là phương pháp áp dụng cho các hàm số có bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số nhằm nâng bậc của tử số lên gần bậc của mẫu số để tính toán dễ dàng hơn. tính tổng quát

( int frac {dx} {x ^ n + a} = frac {1} {2k} int frac {[f(x)+k]-[f(x)-k]} {x ^ n + a} dx )

(= frac {1} {2k} ( int frac {f (x) + k} {x ^ n + a} dx + int frac {f (x) -k} {x ^ n + a } dx) )

Lựa chọn (f (x) ) và (k ) phụ thuộc vào mẫu số trong từng bài toán cụ thể

Ví dụ:

Cho nguyên hàm (I = int frac {dx} { cos ^ 3x} = a. Frac { sin x} { cos ^ 2 x} + b. Tan ( frac {x} {2 } + frac { pi} {4}) + C )

Tính toán (ab )

Giải pháp

Đặt (t = sin x ) chúng ta có

( int frac {dx} { cos ^ 3x} = int frac { cos x ; dx} { cos ^ 4 x} = int frac {dt} {(1-t ^ 2 ) ^ 2} )

(= int frac {1} {4} int [frac{(t-1)+(t+1)}{(t-1)(t+1)}]^ 2dt = int frac {1} {4} ( frac {1} {t + 1} + frac {1} {t-1}) ^ 2dt )

(= int frac {1} {4} ( frac {1} {(t + 1) ^ 2} + frac {1} {(t + 1) ^ 2} + frac {2} { t ^ 2-1}) dt )

(= – frac {1} {4 (t + 1)} – frac {1} {4 (t-1)} + int frac {dx} {2 cos x} )

(= frac {t} {2 (1-t ^ 2)} + frac {1} {2} tan ( frac {x} {2} + frac { pi} {4}) + C )

(= frac {1} {2}. frac { sin x} { cos ^ 2 x} + frac {1} {2}. tan ( frac {x} {2} + frac { pi} {4}) + C )

Vì vậy (a = b = frac {1} {2} Rightarrow ab = 0 )

Dạng 3: Phân số lớn hơn mẫu số

Với dạng bài toán này, ta thực hiện phép chia đa thức ở tử số cho mẫu số rồi tiếp tục xử lý phần dư.

Ví dụ:

Cho hàm số (f (x) = x ^ 2 + ax + ln | bx + 1 | + c ). Biết rằng (f ‘(x) = frac {4x ^ 2 + 4x + 3} {2x + 1} ) và (f (0) = 1 )

Tính (a + b + c )

Giải pháp:

Chúng ta có

( frac {4x ^ 2 + 4x + 3} {2x + 1} = frac {(2x + 1) ^ 2 + 2} {2x + 1} = 2x + 1 + frac {1} {2x + 1 } )

Cho nên

(f (x) = int frac {4x ^ 2 + 4x + 3} {2x + 1} dx = x ^ 2 + x + ln | 2x + 1 | + c )

( Rightarrow a = 1; b = 2 )

Bởi vì (1 = f (0) = c Rightarrow c = 1 )

Vì vậy (a + b + c = 4 )

Bài tập nguyên hàm nhiều lựa chọn có lời giải

Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án giúp các em củng cố lại kiến ​​thức:

Bài 1

Cho nguyên hàm (I = int frac { ln x + e ^ { ln x}} {x} dx = a. Ln ^ bx + e ^ { ln x} + C )

Tính (2a + b )

A. (1 )

B. (2 )

C. (3 )

D. (4 )

( Rightarrow ) CŨ

Bài 2

Cho nguyên hàm (I = frac {dx} { sin x + tan x} = a. Ln | tan frac {x} {2} | -b. Tan ^ 2 frac {x} {2} + C )

Tính toán (a + 2b )

A. (-1 )

B. (- frac {1} {2} )

C. (0 )

D. ( frac {1} {2} )

( Rightarrow ) CŨ

bài 3

Cho nguyên hàm (I = frac {4x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2} {2x-1} dx = ax ^ 3 + x ^ 2 + b ln | 2x-1 | + C ) và các mệnh đề sau

A. (a

B. (a + b = frac {16} {3} )

C. (a, b ) là các số nguyên dương

D. (ab = 1 )

Số mệnh đề đúng là

A. (1 )

B. (2 )

C. (3 )

D. (4 )

( Rightarrow ) CŨ

Bài 4

Cho nguyên hàm (I = frac {(2x + 1) e ^ x + 2x} {e ^ x + 1} = ax ^ 2 + bx + ln (e ^ x + c) )

Tính toán (ab + c )

A. (-1 )

B. (- frac {1} {2} )

C. (1 )

D. (2 )

( Rightarrow ) CŨ

Bài 5

Cho nguyên hàm (I = int frac {1-x ^ 5} {x (1 + x ^ 5)} dx = a ( ln | x ^ 5 | + b ln | 1 + x ^ 5) + C) )

Tính toán (ab )

A. ( frac {2} {5} )

B. ( frac {4} {5} )

C. ( frac {-2} {5} )

D. ( frac {-4} {5} )

( Rightarrow ) CŨ

Bài viết trên của Tip.edu.vn đã hướng dẫn các bạn các phương pháp tính nguyên hàm cũng như cách làm bài tập chống nguyên hàm Casio. Hi vọng những kiến ​​thức trong bài viết sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề Các dạng bài tập nguyên hàm. Chúc may mắn với các nghiên cứu của bạn!